证明以下恒等式：如果$3 \sin \theta+5 \cos \theta=5$，证明$5 \sin \theta-3 \cos \theta=\pm 3$。

已知

$3 \sin \theta+5 \cos \theta=5$

需要做

我们需要证明$5 \sin \theta-3 \cos \theta=\pm 3$。

解答

我们知道，

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

因此，

$3 \sin \theta+5 \cos \theta=5$

两边平方，得到，

$(3 \sin \theta+5 \cos \theta)^2=(5)^2$

$\Rightarrow 9 \sin ^{2} \theta+25 \cos ^{2} \theta+30 \sin \theta \cos \theta=25$ $\Rightarrow 9\left(1-\cos ^{2} \theta\right)+25\left(1-\sin ^{2} \theta\right)+30 \sin \theta \cos \theta=25$

$\Rightarrow 9-9 \cos ^{2} \theta+25-25 \sin ^{2} \theta+30 \sin \theta \cos \theta=25$

$\Rightarrow -25 \sin ^{2} \theta-9 \cos ^{2} \theta+30 \sin \theta \cos \theta=25-9-25$

$\Rightarrow -25 \sin ^{2} \theta-9 \cos ^{2} \theta+30 \sin \theta \cos \theta=-9$

$\Rightarrow  25 \sin ^{2} \theta+9 \cos ^{2} \theta-30 \sin \theta \cos \theta=9$

$\Rightarrow (5 \sin \theta)^{2}+(3 \cos \theta)^{2}-2 \times 5 \sin \theta \times 3 \cos \theta=(\pm 3)^{2}$

$\Rightarrow (5 \sin \theta-3 \cos \theta)^{2}=(\pm 3)^{2}$

$\Rightarrow 5 \sin \theta-3 \cos \theta=\pm 3$

教程点

更新于: 2022年10月10日

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