已知 $sin\theta +cos\theta=\sqrt{3}$，求证 $tan\theta+cot\theta=1$。

已知： $sin\theta +cos\theta=\sqrt{3}$。

求证： $tan\theta+cot\theta=1$。

解：

已知 $sin\theta +cos\theta=\sqrt{3}$

两边平方：

$\Rightarrow ( sin\theta+cos\theta)^2=( \sqrt{3})^{2}$

$\Rightarrow sin^{2}\theta+cos^{2}\theta+2sin\theta.cos\theta=3$

$\Rightarrow 1+2sin\theta cos\theta=3$

$\Rightarrow 2sin\theta cos\theta=3-1$

$\Rightarrow 2sin\theta cos\theta=2$

$\Rightarrow sin\theta cos\theta=1$ .......... $( 1)$

现在，$tan\theta+cot\theta$

$=\frac{sin\theta}{cos\theta}+\frac{cos\theta}{sin\theta}$

$=\frac{sin^{2}\theta+cos^{2}\theta}{sin\theta cos\theta}$

$=\frac{1}{1}=1$             [$\because sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\ and\ sin\theta cos\theta=1,\ from\ ( 1)$]

因此，$tan\theta+cot\theta=1$

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更新于： 2022年10月10日

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