证明以下恒等式：如果$T_{n}=\sin ^{n} \theta+\cos ^{n} \theta$，证明$\frac{T_{3}-T_{5}}{T_{1}}=\frac{T_{5}-T_{7}}{T_{3}}$

已知

$T_{n}=\sin ^{n} \theta+\cos ^{n} \theta$

需要做

我们需要证明$\frac{T_{3}-T_{5}}{T_{1}}=\frac{T_{5}-T_{7}}{T_{3}}$。

解答

我们知道，

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此，

让我们考虑 LHS，

$\frac{\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{5}}{\mathrm{~T}_{1}}=\frac{\left(\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta\right)-\left(\sin ^{5} \theta+\cos ^{5} \theta\right)}{\sin \theta+\cos \theta}$

$=\frac{\sin ^{3} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right)+\cos ^{3} \theta\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}{\sin \theta+\cos \theta}$

$=\frac{\sin ^{3} \theta\cos ^{2} \theta+\cos ^{3} \theta\sin ^{2} \theta}{\sin \theta+\cos \theta}$

$=\frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta(\sin \theta+\cos \theta)}{\sin \theta+\cos \theta}$

$=\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta$

让我们考虑 RHS，

$\frac{T_{5}-T_{7}}{T_{3}}=\frac{\left(\sin ^{5} \theta+\cos ^{5} \theta\right)-\left(\sin ^{7} \theta+\cos ^{7} \theta\right)}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$

$=\frac{\sin ^{5} \theta+\cos ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta-\cos ^{7} \theta}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$

$=\frac{\sin ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta+\cos ^{5} \theta-\cos ^{7} \theta}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$

$=\frac{\sin ^{5} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right)+\cos ^{5} \theta\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$

$=\frac{\sin ^{5} \theta\cos ^{2} \theta+\cos ^{5} \theta\sin ^{2} \theta}{\sin^3 \theta+\cos^3 \theta}$

$=\frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta(\sin^3 \theta+\cos^3 \theta)}{\sin^3 \theta+\cos^3 \theta}$

$=\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta$

这里，

LHS = RHS

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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