证明：$\frac{\tan A+\tan B}{\cot A+\cot B}=\tan A \tan B$

待办事项

我们需要证明$\frac{\tan A+\tan B}{\cot A+\cot B}=\tan A \tan B$。

解答

我们知道，

$\sin^2 A+\cos^2 A=1$

$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$

$\sec^2 A-\tan^2 A=1$

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$

$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$

$\sec A=\frac{1}{\cos A}$

因此，

$\frac{\tan A+\tan B}{\cot A+\cot B}=\frac{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}}{\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}}$

$=\frac{\frac{\sin A \cos B+\cos A \sin B}{\cos A \cos B}}{\frac{\sin A \cos B+\cos A \sin B}{\sin A \sin B}}$

$=\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}$

$=\frac{\sin A}{\cos A}\times\frac{\sin B}{\cos B}$

$=\tan A \tan B$

证毕。      

教程点

更新于: 2022年10月10日

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