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已知：给定的二次方程为 $(2k+1)x^2 + 2(k+3)x + (k + 5) = 0$。求解：我们需要找到使根为实数且相等的k值。解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=2k+1, b=2(k+3)$ 和 $c=k+5$。标准形式二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[2(k+3)]^2-4(2k+1)(k+5)$$D=4(k+3)^2-(8k+4)(k+5)$$D=4(k^2+6k+9)-8k^2-40k-4k-20$$D=4k^2+24k+36-8k^2-44k-20$$D=-4k^2-20k+16$如果 $D=0$，则给定的二次方程具有实数且相等的根。因此， $-4k^2-20k+16=0$$-4(k^2+5k-4)=0$$k^2+5k-4=0$$k=\frac{-5 \pm \sqrt{5^2-4(1)(-4)}}{2(1)}$$k=\frac{-5 \pm \sqrt{25+16}}{2}$$k=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$ 或 $k=\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$k 的值为 $k=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$ 和 $k=\frac{-5-\sqrt{41}}{2}$。 阅读更多
已知：给定的二次方程为 $4x^2 – 2(k + 1)x + (k + 4) = 0$。求解：我们需要找到使根为实数且相等的k值。解：将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到 $a=4, b=-2(k+1)$ 和 $c=k+4$。标准形式二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的判别式为 $D=b^2-4ac$。$D=[-2(k+1)]^2-4(4)(k+4)$$D=4(k+1)^2-(16)(k+4)$$D=4(k^2+2k+1)-16k-64$$D=4k^2+8k+4-16k-64$$D=4k^2-8k-60$如果 $D=0$，则给定的二次方程具有实数且相等的根。因此， $4k^2-8k-60=0$$4(k^2-2k-15)=0$$k^2-2k-15=0$$k^2-5k+3k-15=0$$k(k-5)+3(k-5)=0$$(k-5)(k+3)=0$$k-5=0$ 或 $k+3=0$$k=5$ 或 $k=-3$k 的值为 $-3$ 和 $5$。 阅读更多
已知：$ (cos^{2}67^{o} – sin^{2}23^{o})$。求解：求其值。解：已知 $cos(90^{o}-\theta)=sin\theta$$\Rightarrow cos(90^{o}-23^{o})=sin23^{o}$$\Rightarrow cos67^{o}=sin23^{o}$$\Rightarrow cos^{2}67^{o}=sin^{2}23^{o}$$\therefore (cos^{2}67^{o} – sin^{2}23^{o}) =sin^{2}23^{o}-sin^{2}23^{o}=0$
已知：公差 $( d)=–4$，第七项 $(a_{7})=4$。求解：求给定等差数列的第一项。解：设等差数列的第一项为 a。公差，$d=-4$第七项，$a_{7}=4$已知等差数列的第 n 项 $a_{n}=a+(n-1)d$使用公式，$a_{7}=a+(7-1)(-4)=4$$\Rightarrow a-24=4$$\Rightarrow a=24+4$$\Rightarrow a=28$因此，给定等差数列的第一项为 28。
已知：$\vartriangle ABC\sim\vartriangle PQR$，且 $\frac{AB}{PQ}=\frac{1}{3}$。求解：$\frac{ar( \vartriangle ABC)}{ar( \vartriangle PQR)}=?$。解：$\vartriangle ABC\sim\vartriangle PQR$，$( \because 相似三角形的面积之比等于其对应边长的平方)$$\frac{ar( \vartriangle ABC)}{ar( \vartriangle PQR)}=( \frac{AB}{PQ})^{2}$ $=( \frac{1}{3})^{2}$$=\frac{1}{9}$
已知：最小素数和最小合数。求解：求最小素数和最小合数的最大公约数。解：最小素数是 2。最小合数是 4。因此，最大公约数是 2。
已知：点 $P(x,\ y)$。求解：求点 P 到原点的距离。解：我们知道，如果存在两点 $( x_{1},\ y_{1})$ 和 $( x_{2},\ y_{2})$，则两点之间的距离为，$=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$使用距离公式，点 $P(x,\ y)$ 到原点 O 的距离为 $=\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}$ $=\sqrt{(x)^{2}+(y)^{2}}$
已知：$x = 3$ 是二次方程 $x^{2}-2kx-6=0$ 的一个根。求解：求 k 的值。解：给定方程，$x^{2}-2kx-6=0$如果 $x=3$，则它将满足方程，$\Rightarrow (3)^{2}-2k(3)-6=0$$\Rightarrow9-6k-6=0$$\Rightarrow3-6k=0$$\Rightarrow6k=3$$\Rightarrow k=\frac{3}{6}$$\Rightarrow k=\frac{1}{2}$因此，$k=\frac{1}{2}$
已知：同时掷两个不同的骰子。求解：求概率：$( i)$ 得到一对相同的点数。$( ii)$ 两个骰子上的点数之和为 10。解：$( i)$。得到一对相同点数的有利结果$= {(1, 1), (2, 2), (3, 3),(4, 4), (5, 5), (6, 6)}$有利结果数$=6$总可能结果$=6×6=36$得到一对相同点数的概率$=\frac{有利结果数}{总可能结果数}$ $=\frac{6}{36}$ $=6$ $( ii)$。点数之和为 10 的事件={(4, 6),(6, 4),(5, 5)}有利结果数$=3$总可能结果数$=36$点数之和为 10 的概率$=\frac{3}{36}$ $=\frac{1}{12}$
已知：$P( 4, \ m)$ 将连接点 $A( 2, \ 3)$ 和 $B( 6, \ –3)$ 的线段分割。求解：求分割比例和 m 的值。解：假设点 $P( 4, \ m)$ 将连接点 $A( 2, \ 3)$ 和 $B(6, -3)$ 的线段按比例 $k:1$ 分割。使用分割公式，我们有 $P(x, y)=( \frac{nx_{1}+mx_{2}}{m+n}, \frac{ny_{1}+my_{2}}{m+n})$点 $P(4, m)$ 的坐标$= ( \frac{2×1+6×k}{k+1}, \frac{1×3+k×-3}{k+1})$$\Rightarrow (4, m)=( \frac{6k+2}{k+1}, \frac{3-3k}{k+1})$$\frac{6k+2}{k+1}=4 .....................( 1)$$\frac{3-3k}{k+1}=m ......................( 2)$从 $( ... 阅读更多