线性回归假设 - 多元正态性

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介绍

线性回归是一种广泛使用的统计方法，用于模拟因变量和一个或多个自变量之间的关系。它基于变量之间的线性关系，广泛应用于经济学、心理学和工程学等各个领域。但是，要使线性回归分析的结果有意义且准确，必须满足某些假设。其中一个假设是多元正态性假设。

多元正态性假设认为残差（观测值与预测值之间的差异）服从正态分布。这个假设很重要，因为它允许使用各种统计检验和推断方法，例如假设检验和置信区间，这些方法都依赖于残差的正态性。这一假设对于线性回归分析结果的准确性和可靠性是必要的。

线性回归假设 - 多元正态性

多元正态性

使用线性回归的分析确定一个或多个预测变量是否充分解释了因变量（或标准变量）。回归分析基于五个主要假设：

• 线性关系

• 多元正态性

• 无多重共线性或多重共线性很小

• 无自相关性

• 同方差性

线性回归是最广泛使用的统计技术之一，用于模拟因变量和一个或多个自变量之间的关系。它是一种流行的模拟连续和数值结果的方法，特别适用于识别变量之间关系的强度和方向。但是，为了使线性回归成为有效的数 据分析工具，理解并遵守其基本假设非常重要。

线性回归最重要的假设之一是多元正态性。这意味着模型的误差项或残差应该服从正态分布。换句话说，残差的均值为零，并呈钟形曲线分布。这个假设很重要，因为它允许我们使用各种统计检验和置信区间来推断模型及其参数。

多元正态性是经典线性回归框架的核心组成部分。它对于验证使用该模型所做的许多统计结果和推论是必要的。特别是，中心极限定理指出，许多独立随机变量的总和趋于正态分布，并适用于线性回归中的残差。这意味着，随着观测数的增加，即使单个观测值本身不服从正态分布，残差也会越来越接近正态分布。

有多种方法可以评估线性回归模型中的多元正态性假设。一种常见的方法是绘制残差的直方图，并目视检查分布是否存在正态性的证据。还可以使用正态概率图来图形化地评估残差的正态性。另一种方法是进行正态性检验，例如 Shapiro-Wilk 检验或 Anderson-Darling 检验，以正式检验残差服从正态分布的假设。

如果不满足多元正态性假设，分析将产生几种潜在的影响。最严重的后果之一是，可能需要校正模型参数的标准误差和置信区间的估计值。这反过来会影响假设检验的结果，并导致对因变量和自变量之间关系的错误推断。此外，其他统计结果的有效性，例如用于模型整体显著性的 F 检验，也可能受到影响。

有多种方法可以解决多元正态性假设的违反。一种选择是转换因变量以使残差更接近正态分布。例如，将因变量转换为其对数尺度或幂函数通常会导致残差更接近正态分布。其他技术，例如转换自变量或使用完全不同的模型（例如非线性回归模型或稳健回归模型），也可以用来解决多元正态性假设的违反。

与现实世界实体的规范

需要注意的是，多元正态性假设在现实世界的数据集中并非总是满足，尤其是在样本量较小的情况下。在这些情况下，必须考虑不依赖于正态性假设的替代数据建模方法。例如，稳健回归方法（例如 M 估计量）的设计更能抵抗异常值和偏离正态性的情况，并且可以在残差不服从正态分布的情况下用于拟合回归模型。

在 线性回归模型中，还必须考虑因变量和自变量之间的潜在关系。在某些情况下，可能需要转换变量或使用非线性回归方法来准确地模拟变量之间的关系。例如，如果因变量和自变量之间的关系是非线性的，则多项式或样条回归模型可能更合适。

示例和方程

线性回归中多元正态性假设的一个例子可以在一项研究中看到，该研究调查了收入和受教育年限之间的关系。因变量收入是连续的数值变量，而自变量受教育年限也是连续的。为了模拟这些变量之间的关系，使用从人口中收集的数据样本拟合线性回归模型。

线性回归的关键假设之一是残差（观测值与预测值之间的差异）应该服从正态分布。为了评估这一假设，可以绘制残差的直方图，并目视检查是否存在正态性的证据。还可以使用正态概率图来图形化地评估残差的正态性。如果残差不服从正态分布，则应考虑替代的数据建模方法，例如稳健回归或广义线性模型。

在这个例子中，让我们假设发现线性回归模型的残差不服从正态分布。一个可能的解决方案是对因变量收入进行对数转换。这种转换通常会导致残差更接近正态分布。然后可以使用因变量的对数转换拟合新的线性回归模型，并再次评估残差的正态性。如果残差仍然不服从正态分布，则应考虑其他数据建模方法。

此示例突出了理解和遵守线性回归假设以获得准确结果并对变量之间关系进行有效推断的重要性。通过考虑替代的数据建模方法并解决任何假设违反，研究人员可以确保其分析结果的有效性和意义。

方程

具有单个自变量的简单线性回归模型的方程如下：

Y = β0 + β1X + ε

其中 Y 是因变量，X 是自变量，β0 是截距，β1 是斜率或回归系数，ε 是误差项。

线性回归的目标是估计 β0 和 β1 的值，以最小化残差平方和，定义如下：

RSS = Σ(Yi - Ŷi)^2

其中 Yi 是因变量的观测值，Ŷi 是因变量的预测值，总和取所有观测值。

可以使用最小二乘法获得 β0 和 β1 的估计值，该方法最小化 RSS。然后可以使用 β0 和 β1 的估计值根据自变量的值来预测因变量。

对于多个自变量，多元线性回归模型的方程如下：

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε

其中 X1, X2, ... Xk 是自变量，β0 是截距，β1, β2, ... βk 是回归系数，ε 是误差项。可以使用上述最小二乘法获得 β0, β1, β2, ... βk 的估计值。

结论

多元正态性假设是线性回归分析的重要组成部分，必须仔细考虑才能获得有意义且准确的结果。如果残差不服从正态分布，则应考虑其他数据建模方法，例如稳健回归或广义线性模型。通过了解线性回归的局限性并考虑替代方法，研究人员可以更明智地做出关于其数据的决策，并更好地理解变量之间的关系。总而言之，多元正态性假设是线性回归分析的关键组成部分，应仔细考虑以确保结果的有效性。