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法学交流电路中的电容器
考虑仅由电容器 (C) 组成的电路。当在电容器两端施加交流电压时，电容器会先朝一个方向充电，然后在电压反向时朝另一个方向充电。由于在电容器两端施加了交流电压，电子在电路周围来回移动，从而构成交流电流。
设施加的交流电压方程为
$$\mathrm{
u= V_{m} sin(\omega t)}\:\:\:….. (1)$$
由于交流电压 (v)，交流电流将流过电路 (i)。设在任何时刻 q 都是电容器极板上的电荷。因此，
$$\mathrm{q=C
u = CV_{m}sin(\omega t)}$$
$$\mathrm{∴\:电路电流\:i = \frac{dq}{dt}=\frac{d}{dt}(CV_{m}sin(\omega t)) = \omega CV_{m} cos(\omega t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow i = \omega CV_{m} sin(\omega t + 90^{\circ})}\:\:\: … (2)$$
当 sin(ωt + 90°) = 1 时，i 的值将最大，即
$$\mathrm{I_{m}= \omega CV_{m}}$$
将 Im 的值代入公式 (2)，我们得到：
$$\mathrm{i=I_{m}sin(\omega t + 90^{\circ})}\:\:\ :… (3)$$
因此，从公式 (1) 和 (3) 可以看出，电流比施加的电压超前 90°。这也可以用相量图和波形表示。
容抗
因为
$$\mathrm{I_{m}= \omega CV_{m}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{V_{m}}{I_{m}}=\frac{V_{m}/ \sqrt{2}}{I_{m} \sqrt{2}}=\frac{V}{I}=\frac{1}{\omega C}}$$
$$\mathrm{X_{c}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2 \pi fc}}\:\:\:… (4)$$
其中：
V 和 I 分别是电压和电流的有效值。
f 是以 Hz 为单位的电源频率。
ω = 2πf 是以 rad/sec 为单位测量的电源的 角频率。
因此，电容器对电流的阻碍作用为 XC。它被称为电容器的 容抗。XC 的单位为欧姆 (Ω)。
功率
瞬时功率 - 它是瞬时电压和瞬时电流的乘积。用小写字母 p 表示，即
$$\mathrm{p=
u i=V_{m}sin(\omega t)× I_{m}sin(\omega t + 90^{\circ})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow p=V_{m} I_{m}sin(\omega t)\:cos(\omega t)=\frac{V_{m} I_{m}}{2}sin(2\omega t)}\:\:\:\:… (5)$$
平均功率 - 平均功率是瞬时功率在一个完整周期内的平均值，用大写字母 P 表示，因此，
$$\mathrm{p = 一个周期内的平均值}$$
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}sin(2\omega t)d (\omega t)=0}$$
因此，在一个完整周期内，纯电容器吸收的平均功率为零。从功率曲线可以看出，在一个周期内，正功率等于负功率。因此，纯电容器吸收的净功率为零。
数值例子
将 250 V，50 Hz 的电压施加到一个 400 µF 电容的纯电容器上。确定以下内容：
- 容抗
- 电路电流的有效值
- 电压和电流的方程。
解答
- 容抗
$$\mathrm{X_{c}=\frac{1}{2\pi fC}=\frac{1}{2\pi × 50 × 400 × 10−6}=7.962 Ω}$$
- 电路电流的有效值
$$\mathrm{I=\frac{V}{X_{c}}=\frac{250}{7.962}=31.39 A}$$
- 电压和电流的方程
$$\mathrm{电压最大值,V_{m}= √2×V= √2 × 250 = 353.5 V}$$
$$\mathrm{电流最大值,I_{m}= √2 ×I= √2 × 31.39 = 44.39 A}$$
$$\mathrm{角频率,\omega = 2\pi f= 2\pi× 50 = 314 rad⁄sec}$$
因此，
$$\mathrm{电压方程，
u=V_{m}sin(\omega t) = 353.5 sin 314t}$$
$$\mathrm{电流方程，i=I_{m}sin(\omega t + 90°) = 44.39 sin(314𝑡 + 90°)}$$
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