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法律学交流电路中的电感器
考虑包含一个纯电感线圈（电感为 L 亨利）的电路。当一个交流电压 V（RMS）施加在线圈两端时，一个交流电流 I（RMS）将流过电路。由于这个交流电流，在线圈中会由于其电感而产生一个反电动势 (e)。这个反电动势在每个时刻都阻碍电流通过线圈的变化。
假设施加的交流电压为
$$\mathrm{
u=V_{m}sin\:\omega t}\:\:\:… (1)$$
电感器线圈中产生的反电动势 (e) 由下式给出：
$$\mathrm{e=L \frac{di}{dt}}\:\:\:… (2)$$
由于没有欧姆压降，因此施加的电压只需要克服反电动势即可。因此，
施加电压 = 反电动势
$$\mathrm{V_{m}\:sin\:\omega t =L \frac{di}{dt}}$$
$$\mathrm{di=\frac{V_{m}}{L}sin\: \omega t dt}$$
对两边进行积分，得到：
$$\mathrm{i=\frac{V_{m}}{L}\:\int \:sin\:\omega t\:dt=\frac{V_{m}}{L}(\frac{-cos\:\omega t}{\omega})=\frac{V_{m}}{\omega\:L}(-cos\:\omega t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:i=\frac{V_{m}}{\omega\:L}sin(\omega t-90^{\circ})}\:\:\:… (3)$$
在公式 (3) 中，当 sin (ωt - 90°) = 1 时，i 的值将最大。因此，
$$\mathrm{I_{m}=\frac{V_{m}}{\omega\:L}}\:\:\:… (4)$$
因此，公式 (3) 变为：
$$\mathrm{i=I_{m}sin(\omega t-90^{\circ})}\:\:\:… (5)$$
从公式 (5) 可以看出，纯电感上的电流滞后于电感上的电压 90°。它也可以用相量图和波形表示为：
感抗
由于我们已经看到
$$\mathrm{I_{m}=\frac{V_{m}}{\omega\:L}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{V_{m}}{I_{m}}=\omega\:L=X_{L}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X_{L}=\omega\:L=2\pi\:fL=\frac{V_{m}/ \sqrt{2}}{I_{m}\sqrt{2}}=\frac{V}{I}}\:\:\:… (6)$$
其中，V 和 I 分别是电压和电流的 RMS 值。ω = 2πfL 是角供电频率。
因此，XL 是电感器对电流流动的阻抗。它被称为电感线圈的感抗。XL 的单位为欧姆 (Ω)。
功率
**瞬时功率** - 瞬时功率 (p) 由瞬时电压和瞬时电流的乘积给出，如下所示：
$$\mathrm{p=
u×i=V_{m}sin \:\omega\:t×I_{m}sin(\omega\:t-90^{\circ})=-V_{m}I_{m}sin\:\omega t\:cos\:\omega t}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:p=-\frac{V_{m}\:I_{m}}{2}sin\:2\omega t}\:\:\:… (7)$$
**平均功率** - 平均功率 (P) 是一个周期内瞬时功率的平均值。因此，
$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}-\frac{V_{m}\:I_{m}}{2}sin\:2\omega t\:d\omega t}\:\:\:… (8)$$
因此，纯电感在一个周期内吸收的平均功率为零。功率曲线在一个周期内显示正功率等于负功率。因此，在一个周期内的合成功率为零，即电感没有消耗功率。电功率仅在电源和线圈之间来回流动。
数值示例
当一个纯电感线圈连接到一个 250 V，50 Hz 的电源上时，通过它的电流为 20 A。确定以下内容：
- 感抗
- 线圈的电感
- 吸收功率
- 电压和电流的方程式。
解决方案
- 感抗
$$\mathrm{X_{L}=\frac{V}{I}=\frac{250}{20}= 12.5 Ω}$$
- 线圈的电感
$$\mathrm{∵X_{L}=2\pi fL}$$
$$\mathrm{\Rightarrow L=\frac{X_{L}}{2\pi f}=\frac{12.5}{2\pi×50}=0.0398 H = 39.8 mH}$$
- 吸收功率 - 由于给定的线圈是纯电感。因此，**吸收功率为零**。
- 电压和电流的方程式
$$\mathrm{电压的最大值，V_{m}=√2 × V=√2 × 250 = 353.5 V}$$
$$\mathrm{电流的最大值，I_{m}=\frac{V_{m}}{X_{L}}=\frac{353.5}{12.5}= 28.28 A}$$
$$\mathrm{角频率，ω=2\pi f=2\pi× 50 = 314 rad⁄sec}$$
因此，
$$\mathrm{电压方程式，
u= 353.5\:sin 314t}$$
$$\mathrm{电流方程式，t= 28.28\:sin(314t− 90^{\circ})}$$
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