交流电路中的电感器

考虑包含一个纯电感线圈（电感为 L 亨利）的电路。当一个交流电压 V（RMS）施加在线圈两端时，一个交流电流 I（RMS）将流过电路。由于这个交流电流，在线圈中会由于其电感而产生一个反电动势 (e)。这个反电动势在每个时刻都阻碍电流通过线圈的变化。

假设施加的交流电压为

$$\mathrm{ u=V_{m}sin\:\omega t}\:\:\:… (1)$$

电感器线圈中产生的反电动势 (e) 由下式给出：

$$\mathrm{e=L \frac{di}{dt}}\:\:\:… (2)$$

由于没有欧姆压降，因此施加的电压只需要克服反电动势即可。因此，

       施加电压 = 反电动势

$$\mathrm{V_{m}\:sin\:\omega t =L \frac{di}{dt}}$$

$$\mathrm{di=\frac{V_{m}}{L}sin\: \omega t dt}$$

对两边进行积分，得到：

$$\mathrm{i=\frac{V_{m}}{L}\:\int \:sin\:\omega t\:dt=\frac{V_{m}}{L}(\frac{-cos\:\omega t}{\omega})=\frac{V_{m}}{\omega\:L}(-cos\:\omega t)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:i=\frac{V_{m}}{\omega\:L}sin(\omega t-90^{\circ})}\:\:\:… (3)$$

在公式 (3) 中，当 sin (ωt - 90°) = 1 时，i 的值将最大。因此，

$$\mathrm{I_{m}=\frac{V_{m}}{\omega\:L}}\:\:\:… (4)$$

因此，公式 (3) 变为：

$$\mathrm{i=I_{m}sin(\omega t-90^{\circ})}\:\:\:… (5)$$

从公式 (5) 可以看出，纯电感上的电流滞后于电感上的电压 90°。它也可以用相量图和波形表示为：

感抗

由于我们已经看到

$$\mathrm{I_{m}=\frac{V_{m}}{\omega\:L}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{V_{m}}{I_{m}}=\omega\:L=X_{L}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X_{L}=\omega\:L=2\pi\:fL=\frac{V_{m}/ \sqrt{2}}{I_{m}\sqrt{2}}=\frac{V}{I}}\:\:\:… (6)$$

其中，V 和 I 分别是电压和电流的 RMS 值。ω = 2πfL 是角供电频率。

因此，X_L 是电感器对电流流动的阻抗。它被称为电感线圈的感抗。X_L 的单位为欧姆 (Ω)。

功率

• **瞬时功率** - 瞬时功率 (p) 由瞬时电压和瞬时电流的乘积给出，如下所示：

$$\mathrm{p= u×i=V_{m}sin \:\omega\:t×I_{m}sin(\omega\:t-90^{\circ})=-V_{m}I_{m}sin\:\omega t\:cos\:\omega t}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:p=-\frac{V_{m}\:I_{m}}{2}sin\:2\omega t}\:\:\:… (7)$$

• **平均功率** - 平均功率 (P) 是一个周期内瞬时功率的平均值。因此，

$$\mathrm{p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}-\frac{V_{m}\:I_{m}}{2}sin\:2\omega t\:d\omega t}\:\:\:… (8)$$

因此，纯电感在一个周期内吸收的平均功率为零。功率曲线在一个周期内显示正功率等于负功率。因此，在一个周期内的合成功率为零，即电感没有消耗功率。电功率仅在电源和线圈之间来回流动。

数值示例

当一个纯电感线圈连接到一个 250 V，50 Hz 的电源上时，通过它的电流为 20 A。确定以下内容：

• 感抗
• 线圈的电感
• 吸收功率
• 电压和电流的方程式。

解决方案

• 感抗

$$\mathrm{X_{L}=\frac{V}{I}=\frac{250}{20}= 12.5 Ω}$$

• 线圈的电感

$$\mathrm{∵X_{L}=2\pi fL}$$

$$\mathrm{\Rightarrow L=\frac{X_{L}}{2\pi f}=\frac{12.5}{2\pi×50}=0.0398 H = 39.8 mH}$$

• 吸收功率 - 由于给定的线圈是纯电感。因此，**吸收功率为零**。
• 电压和电流的方程式

$$\mathrm{电压的最大值，V_{m}=√2 × V=√2 × 250 = 353.5 V}$$

$$\mathrm{电流的最大值，I_{m}=\frac{V_{m}}{X_{L}}=\frac{353.5}{12.5}= 28.28 A}$$

$$\mathrm{角频率，ω=2\pi f=2\pi× 50 = 314 rad⁄sec}$$

因此，

$$\mathrm{电压方程式， u= 353.5\:sin 314t}$$

$$\mathrm{电流方程式，t= 28.28\:sin(314t− 90^{\circ})}$$

Manish Kumar Saini

更新于： 2021年6月12日

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