计算机图形学 - 3D变换

旋转

三维旋转与二维旋转不同。在三维旋转中，我们必须指定旋转角度以及旋转轴。我们可以绕X、Y和Z轴进行三维旋转。它们以矩阵形式表示如下：

$$R_{x}(\theta) = \begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0\\ 0& \cos\theta & -\sin\theta& 0\\ 0& \sin\theta & \cos\theta& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{bmatrix} R_{y}(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta& 0& \sin\theta& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin\theta& 0& \cos\theta& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{bmatrix} R_{z}(\theta) =\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0& 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}$$

下图解释了绕不同轴的旋转：

缩放

可以使用缩放变换来改变对象的大小。在缩放过程中，您可以扩展或压缩对象的尺寸。缩放可以通过将对象的原始坐标乘以缩放因子来获得所需的结果。下图显示了三维缩放的效果：

在三维缩放操作中，使用三个坐标。假设原始坐标为(X, Y, Z)，缩放因子分别为$(S_{X}, S_{Y}, S_{Z})$，生成的坐标为(X', Y', Z')。这可以用下面的数学公式表示：

$S = \begin{bmatrix} S_{x}& 0& 0& 0\\ 0& S_{y}& 0& 0\\ 0& 0& S_{z}& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

P’ = P∙S

$[{X}' \:\:\: {Y}' \:\:\: {Z}' \:\:\: 1] = [X \:\:\:Y \:\:\: Z \:\:\: 1] \:\: \begin{bmatrix} S_{x}& 0& 0& 0\\ 0& S_{y}& 0& 0\\ 0& 0& S_{z}& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

$ = [X.S_{x} \:\:\: Y.S_{y} \:\:\: Z.S_{z} \:\:\: 1]$

错切

使物体形状倾斜的变换称为错切变换。与二维错切一样，我们可以在三维空间中沿X轴、Y轴或Z轴错切物体。

如上图所示，有一个坐标P。您可以将其错切以获得新的坐标P'，这可以用三维矩阵形式表示如下：

$Sh = \begin{bmatrix} 1 & sh_{x}^{y} & sh_{x}^{z} & 0 \\ sh_{y}^{x} & 1 & sh_{y}^{z} & 0 \\ sh_{z}^{x} & sh_{z}^{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

P’ = P ∙ Sh

$X’ = X + sh_{x}^{y} Y + sh_{x}^{z} Z$

$Y' = sh_{y}^{x}X + Y +sh_{y}^{z}Z$

$Z' = sh_{z}^{x}X + sh_{z}^{y}Y + Z$

变换矩阵

变换矩阵是变换的基本工具。一个n x m维的矩阵与对象的坐标相乘。通常使用3 x 3或4 x 4矩阵进行变换。例如，考虑以下用于各种操作的矩阵。