计算机图形学曲线

在计算机图形学中，我们经常需要在屏幕上绘制不同类型的对象。对象并非总是平坦的，我们需要多次绘制曲线来绘制对象。

曲线的类型

曲线是无限大的点集。每个点都有两个邻居，除了端点。曲线可以大致分为三类：**显式曲线、隐式曲线**和**参数曲线**。

隐式曲线表示通过使用可以测试点是否在曲线上的过程来定义曲线上的点集。通常，隐式曲线由以下形式的隐函数定义：

f(x, y) = 0

它可以表示多值曲线（对于一个 x 值有多个 y 值）。一个常见的例子是圆，其隐式表示为

x² + y² - R² = 0

数学函数 y = f(x) 可以绘制成曲线。这样的函数是曲线的显式表示。显式表示不通用，因为它不能表示垂直线，并且也是单值的。对于每个 x 值，函数通常只计算一个 y 值。

具有参数形式的曲线称为参数曲线。显式和隐式曲线表示仅在已知函数时才能使用。在实践中，使用参数曲线。二维参数曲线具有以下形式：

P(t) = f(t), g(t) 或 P(t) = x(t), y(t)

函数 f 和 g 成为曲线上的任何点的 (x, y) 坐标，当参数 t 在某个区间 [a, b]（通常为 [0, 1]）内变化时获得这些点。

贝塞尔曲线是由法国工程师**皮埃尔·贝塞尔**发现的。这些曲线可以在其他点的控制下生成。使用控制点近似切线来生成曲线。贝塞尔曲线可以用数学方式表示为：

$$\sum_{k=0}^{n} P_{i}{B_{i}^{n}}(t)$$

其中 $p_{i}$ 是点集，${B_{i}^{n}}(t)$ 表示伯恩斯坦多项式，由以下公式给出：

$${B_{i}^{n}}(t) = \binom{n}{i} (1 - t)^{n-i}t^{i}$$

其中**n**是多项式的次数，**i**是索引，**t**是变量。

最简单的贝塞尔曲线是从点 $P_{0}$ 到 $P_{1}$ 的直线。二次贝塞尔曲线由三个控制点确定。三次贝塞尔曲线由四个控制点确定。

贝塞尔曲线具有以下性质：

由伯恩斯坦基函数生成的贝塞尔曲线灵活性有限。

B 样条基包含伯恩斯坦基作为特例。B 样条基是非全局的。

B 样条曲线定义为控制点 Pi 和 B 样条基函数 $N_{i,}$ k (t) 的线性组合，由下式给出

$C(t) = \sum_{i=0}^{n}P_{i}N_{i,k}(t),$ $n\geq k-1,$ $t\: \epsilon \: [ tk-1,tn+1 ]$

其中，

$${t_{i}:i = 0, ... n + K}$$

N_i, k 函数描述如下：

$$N_{i,1}(t) = \left\{\begin{matrix} 1,& if \:u \: \epsilon \: [t_{i,}t_{i+1}) \\ 0,& Otherwise \end{matrix}\right.$$

如果 k > 1，则

$$N_{i,k}(t) = \frac{t-t_{i}}{t_{i+k-1}} N_{i,k-1}(t) + \frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k} - t_{i+1}} N_{i+1,k-1}(t)$$

并且

$$t \: \epsilon \: [t_{k-1},t_{n+1})$$

B 样条曲线具有以下性质：

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