算法分析

在算法的理论分析中，通常以渐近意义估计其复杂度，即估计任意大的输入的复杂度函数。 “算法分析”这一术语由唐纳德·克努特提出。

算法分析是计算复杂度理论中的重要组成部分，它为解决特定计算问题所需的算法资源提供了理论估计。大多数算法的设计都是为了处理任意长度的输入。算法分析是确定执行算法所需的时间和空间资源量。

通常，算法的效率或运行时间表示为一个函数，该函数将输入长度与步数（称为时间复杂度）或内存容量（称为空间复杂度）相关联。

分析的必要性

本章将讨论算法分析的必要性以及如何为特定问题选择更好的算法，因为一个计算问题可以用不同的算法来解决。

通过考虑特定问题的算法，我们可以开始发展模式识别能力，以便借助该算法解决类似类型的问题。

算法之间通常大相径庭，尽管这些算法的目标相同。例如，我们知道可以使用不同的算法对一组数字进行排序。对于相同的输入，一种算法执行的比较次数可能与其他算法不同。因此，这些算法的时间复杂度可能会有所不同。同时，我们需要计算每种算法所需的内存空间。

算法分析是对算法解决问题的能力进行分析的过程，包括所需时间和空间（实现时存储所需的内存大小）。然而，算法分析的主要关注点是所需时间或性能。通常，我们执行以下类型的分析：

• 最坏情况 - 对大小为a的任何实例所采取的最大步数。

• 最好情况 - 对大小为a的任何实例所采取的最小步数。

• 平均情况 - 对大小为a的任何实例所采取的平均步数。

• 均摊 - 应用于大小为a的输入的一系列操作随时间的平均值。

为了解决问题，我们需要考虑时间和空间复杂度，因为程序可能在一个内存有限但空间充足的系统上运行，或者反之亦然。 在这种情况下，如果我们比较冒泡排序和归并排序。冒泡排序不需要额外的内存，但归并排序需要额外的空间。尽管冒泡排序的时间复杂度高于归并排序，但如果程序需要在内存非常有限的环境中运行，我们可能需要应用冒泡排序。

增长率

增长率定义为当输入大小增加时算法运行时间增加的速率。

增长率可分为两种类型：线性型和指数型。如果算法随着输入大小的增加而线性增加，则为线性增长率。如果算法的运行时间随着输入大小的增加而呈指数增加，则为指数增长率。

证明算法的正确性

一旦设计出解决问题的算法，就非常重要的一点是该算法必须始终为给定的每个输入返回期望的输出。因此，需要证明所设计的算法的正确性。这可以使用多种方法完成：

反例证明

确定算法可能不正确的案例并应用。如果反例适用于该算法，则证明了其正确性。否则，必须设计另一个解决此反例的算法。

归纳证明

使用数学归纳法，我们可以通过证明算法对于基本情况输入（例如1）是正确的，并假设它对于另一个输入k是正确的，然后证明它对于k+1也是正确的，从而证明算法对于所有输入都是正确的。

循环不变式证明

找到一个循环不变式k，证明基本情况对于算法中的循环不变式成立。然后应用数学归纳法来证明算法的其余部分是正确的。