行列式

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引言

• 我们在前面的课程中学习过，两个二元一次方程组，即 $\mathrm{a_{1}x\:+\:b_{1}y\:=\:c_{1}\:and\:a_{2}x\:+\:b_{2}y\:=\:c_{2}}$，如果 $\mathrm{\frac{a_{1}}{b_{1}}\:\neq\:\frac{a_{2}}{b_{2}}\:i.e.\:a_{1}b_{2}\:-\:b_{1}a_{2}\:\neq\:0}$，则该方程组有唯一解。

• 因此，$\mathrm{(a_{1}b_{2}\:-\:b_{1}a_{2})}$ 是两个线性方程组的决定因素。

• 我们将 $\mathrm{a_{1}b_{2}\:-\:b_{1}a_{2}}$ 定义为二阶方阵的行列式。在本教程中，我们将定义二阶和三阶方阵的行列式，并了解行列式的性质以及一些已解决的示例。

行列式

对于每个 𝑛 阶方阵 $\mathrm{A\:=\:[a_{ij}]}$，我们可以将其与一个称为方阵 𝐴 的行列式的实数或复数相关联，其中 𝑎𝑖𝑗 表示矩阵 𝐴 的第 i 行第 j 列的元素。矩阵的行列式用 $\mathrm{det(A)\:or\:\lvert\:A\rvert}$ 表示。

一阶方阵的行列式

注意 - 一阶方阵的行列式定义为元素本身。

示例 -

如果 $\mathrm{A\:=\:[2]}$，则矩阵的行列式为 $\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=\:2}$

二阶方阵的行列式

二阶方阵 𝐴 的行列式定义如下 -

$\mathrm{A\:=\:\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}}$

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=a_{11}a_{22}\:-\:a_{21}a_{12}}$$

三阶方阵的行列式

三阶方阵的行列式定义为元素与其对应的代数余子式乘积的和。

如果

$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}}$

子式用 $\mathrm{M_{ij}}$ 表示，它是降阶矩阵的行列式。代数余子式 $\mathrm{A_{ij}}$ 定义为 $\mathrm{A_{ij}\:=\:(-1)^{i\:+\:j}M_{ij}}$

因此，3 x 3 方阵的行列式由下式给出

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=a_{11}A_{11}\:+\:a_{12}A_{12}\:+\:a_{13}A_{13}}$$

示例

求以下矩阵的行列式

$\mathrm{A\:=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$

解决方案

我们将通过沿第一行展开来求行列式。因此，我们计算第一行元素的子式和代数余子式。

1 的子式是

$\mathrm{\begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}\:=\:0\:-\:0\:=\:0}$

$\mathrm{1 的代数余子式\:=\:(-1)^{1\:+\:1}M_{11}\:=\:M_{11}\:=\:0}$

-2 的子式是

$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}\:=\:3\:-\:0\:=\:3}$

$\mathrm{-2 的代数余子式\:=\:(-1)^{1\:+\:2}M_{12}\:=\:-M_{12}\:=\:-3}$

3 的子式是

$\mathrm{\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\\ \end{bmatrix}\:=\:0\:-\:0\:=\:0}$$

$\mathrm{3 的代数余子式\:=\:(-1)^{1\:+\:3}M_{13}\:=\:M_{13}\:=\:0}$

因此，给定 3 x 3 矩阵的行列式由下式给出，

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=a_{11}A_{11}\:+\:a_{12}A_{12}\:+\:a_{13}A_{13}}$$

$$\mathrm{\lvert\:A\rvert\:=1(0)\:+\:2(-3)\:+\:3(0)\:=\:0\:-\:6\:+\:0\:-6}$$

行列式的性质

• 如果方阵的一行或一列的每个元素都为零，则该矩阵的行列式为零。

• 如果方阵的任意两行或两列互换，则矩阵行列式的值改变符号。

• 如果方阵的任意两行或两列相同，则行列式的值为零。

• 矩阵与其转置的行列式相同。

• 如果一行或一列的元素与另一行或另一列的对应元素的比率相同，则行列式的值为零。

• 如果每一行的每个元素都乘以一个标量 𝑘，则行列式的值变为原来的 𝑘 倍。

• 如果 𝑘 是一个标量，则 $\mathrm{\lvert\:KA\:\rvert\:=\:K^{3}\lvert\:A\:\rvert}$

• 对角矩阵的行列式是对角元素的乘积。

• 三角矩阵的行列式是对角元素的乘积。

• $\mathrm{\begin{vmatrix} a_{1}\:+\:x & b_{1} & c_{1} \\ a_{2}\:+\:x & b_{2} & c_{2}\\ a_{3}\:+\:x & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\:=\:\begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2}\\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}\:+\:\begin{vmatrix} x & b_{1} & c_{1} \\ x & b_{2} & c_{2}\\ x & b_{2} & c_{3} \end{vmatrix}}$

• 如果包含 𝑥 中多项式的方阵的行列式的值为零，则 $\mathrm{x\:=\:0\:then\:(x\:-\:a)}$ 是行列式的因子。

• 如果对行或列进行初等变换，行列式的值保持不变。

• $ \mathrm{\lvert\:AB\:\rvert\:=\:\lvert\:A\:\rvert\:\lvert\:B\:\rvert\:}$

• $\mathrm{\lvert\:AB\:\rvert\:=\:\lvert\:A\:\rvert\:^{n}}$

用行列式求平行四边形的面积

用行列式求三角形面积的公式是一种有效地给出三角形面积正值的公式。当已知三角形的顶点而不是三角形的高和底时，此公式很有用。如果 (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) 和 (𝑥3, 𝑦3) 是给定三角形的三个顶点，则其面积用行列式形式定义为

$ \mathrm{\frac{1}{2}\:\begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1\\ x_{3} & y_{3} & 1 \end{vmatrix}}$

平行四边形的面积可以通过将由给定三角形的任意三个连续顶点形成的三角形的面积加倍来计算。

已解决的示例

1.不展开行列式，证明

$\mathrm{\begin{vmatrix} p\:-\:q & q\:-\:r & r\:-\:p \\ q\:-\:r & r\:-\:p & p\:-\:q\\ r\:-\:p & p\:-\:q & q\:-\:r \end{vmatrix}\:=\:0}$

解决方案 -

考虑 LHS 为

$\mathrm{\begin{vmatrix} p\:-\:q & q\:-\:r & r\:-\:p \\ q\:-\:r & r\:-\:p & p\:-\:q\\ r\:-\:p & p\:-\:q & q\:-\:r \end{vmatrix}}$

现在注意第一行的每个元素都为零，因此根据上面讨论的行列式的第一个性质，给定行列式的值为零。

因此，

$\mathrm{\begin{vmatrix} p\:-\:q & q\:-\:r & r\:-\:p \\ q\:-\:r & r\:-\:p & p\:-\:q\\ r\:-\:p & p\:-\:q & q\:-\:r \end{vmatrix}\:=\:0}$

2. 证明

$\mathrm{\begin{vmatrix} x& p & p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}\:=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)^{2}}$

解决方案 -

考虑 LHS 为

$\mathrm{\begin{vmatrix} x& p & p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}}$

通过执行初等变换 $\mathrm{R_{1}\:\rightarrow\:R_{1}\:+\:R_{2}\:+\:R_{3}}$，我们得到，

$\mathrm{=\:\begin{vmatrix} x\:+\:2p& x\:+\:2p & x\:+\:2p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}}$

注意 $\mathrm{x\:+\:2p}$ 是上述行列式的因子，

因此，

$\mathrm{(x\:+\:2p)\:\begin{vmatrix} 1& 1 & 1 \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}}$

现在执行初等变换 $\mathrm{R_{2}\:\rightarrow\:R_{2}\:+\:R_{3}}$，我们得到，

$\mathrm{(x\:+\:2p)\:\begin{vmatrix}1& 1 & 1 \\ 0 & x\:-\:p & \:-\:x\\ p & p & x\end{vmatrix}}$

注意 (𝑥 − 𝑝) 是上述行列式的因子。因此，

现在，展开剩余的行列式值，我们得到，

$$\mathrm{=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)\:[1(x\:+\:p)\:-\:1(0\:+\:p)\:+\:1(0\:-\:p)]}$$

$$\mathrm{=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)(x\:-\:p)}$$

$$\mathrm{=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)^{2}}$$

因此，

$$\mathrm{\begin{vmatrix} x & p & p \\ p & x & p\\ p & p & x \end{vmatrix}\:=\:(x\:+\:2p)(x\:-\:p)^{2}}$$

结论

• 对于每个 𝑛 阶方阵 $\mathrm{A\:=\:[a_{ij}]}$，我们可以将其与一个称为方阵 𝐴 的行列式的实数或复数相关联，其中 $\mathrm{a_{ij}}$ 表示矩阵 𝐴 的第 i 行第 j 列的元素。矩阵的行列式用 $\mathrm{det(A)\:or\:\lvert\:A\:\rvert}$ 表示。

• 用行列式表示的三角形面积由 $\mathrm{\frac{1}{2}\:\lvert\:x_{1}(y_{2}\:-\:y_{3})\:+\:x_{2}(y_{3}\:-\:y_{1})\:+\:x_{3}(y_{1}\:-\:y_{2})\:\rvert\:Where\:(x_{1},y_{1})\:(x_{2},y_{2})\:and\:(x_{3},y_{3})}$ 三个顶点给出。

• 由于行列式的值可以为负或正，因此取行列式的绝对值，将计算出的行列式的值作为三角形的面积。

• 任何四边形的面积都可以通过将通过对角线划分四边形形成的两个三角形的面积相加来求得。

• 用行列式表示的平行四边形面积公式为 $\mathrm{\lvert\:x_{1}(y_{2}\:-\:y_{3})\:+\:x_{2}(y_{3}\:-\:y_{1})\:+\:x_{3}(y_{1}\:-\:y_{2})\:\rvert}$

• 如果由三个点形成的三角形的面积为零，则这三个点共线，这是行列式在几何中的应用。

常见问题

1. 行列式可以为负吗？

行列式不是矩阵；它是一个实数。行列式可能是负数。除了它们都使用竖线之外，它与绝对值无关。

2. 我们可以添加两个行列式吗？

如果两个行列式只在一列上不同，则可以通过简单地添加这两列来将这两个行列式组合在一起。

3. 如果行列式为 0 会怎样？

当矩阵的行列式为0时，该矩阵不可逆。这是确定矩阵是否可逆的主要依据。所讨论的矩阵称为奇异矩阵。当行列式为零时，与矩阵相关的方程组是线性相关的。

4. 求平行四边形面积的公式是什么？

用行列式表示的平行四边形面积公式为 $\mathrm{\lvert\:x_{1}(y_{2}\:-\:y_{3})\:+\:x_{2}(y_{3}\:-\:y_{1})\:+\:x_{3}(y_{1}\:-\:y_{2})\:\rvert}$

5. 行列式是一个标量吗？

在数学中，行列式是一个标量量，它是方阵的行和列的函数。它可以刻画矩阵和矩阵所代表的线性映射的一些方面。