微分方程

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引言

我们需要开发各种数学模型来建立现实生活中多个变量之间的关系。在此方向上，微分方程起着重要的作用。它们是数学的应用部分，并用于微积分。在本教程中，我们将讨论微分方程的含义、阶数、度数和类型，并附带已解决的示例。

微分方程

微分方程是包含函数及其导数的数学表达式。

它描述了变量及其变化率之间的关系。它被用于工程、科学、生物学、金融等领域。

微分方程至少包含一个常微分或偏微分项。

让我们考虑一下变量 p 相对于 x 的变化率与 x 成正比。给定的语句可以写成微分方程的形式：

$\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:kx\:(其中k为常数)}$

此外，下面列出了一些微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\sin^{2}x}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:-\:2x\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:-\:\frac{d^{2}q}{dx^{2}}\:+\:p^{2}\:+\:x^{2}\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:p^{2}\:=\:10}$

阶数和度数

两个重要的术语与微分方程相关，包括**阶数**和**度数**。让我们详细讨论每个术语。

阶数

微分方程的阶数定义为表达式中出现的最高阶导数的阶数。微分方程按其阶数命名。阶数可以是任何数字，例如一阶、二阶、三阶或四阶。让我们讨论一些例子。

一阶微分方程

如果微分方程的阶数为一，则称为**一阶微分方程**。这些方程通常以线性形式书写。它包含函数的一阶导数。下面列出了一些一阶微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:7x\:=\:1}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:-\:\cos\:x\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:e^{2x}}$

二阶微分方程

如果微分方程的阶数为二，则称为**二阶微分方程**。它包含函数的二阶导数。下面列出了一些二阶微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:1\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{1}{x^{2}}\:=\:4}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:e^{2x}\:=\:2}$

度数

微分方程的度数定义为最高阶导数的指数或幂。要找到微分方程的度数，我们需要将表达式表示为多项式方程。如果表达式不能表示为多项式表达式，则微分方程将没有度数。

让我们考虑一个微分方程的例子：

$\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{2}})^{3}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:5\:=\:0}$

在这种情况下，微分方程的度数为 3。

微分方程的类型

下面描述了几种类型的微分方程。

• 常微分方程

• 偏微分方程

• 线性微分方程

• 非线性微分方程

• 齐次微分方程

• 非齐次微分方程

让我们详细讨论每种类型的微分方程

常微分方程

常微分方程包含一个或多个自变量的函数及其导数项。它的缩写是**ODE**。下面列出了一些常微分方程的例子。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:7x^{4}\:=\:-8}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:x\:-\:y}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:x\:=\:5}$

偏微分方程

偏微分方程包含多个自变量、一个因变量以及因变量相对于自变量的偏导数。它的缩写是 PDE。下面列出了一些偏微分方程的例子

• $\mathrm{\frac{\partial^{2}p}{\partial^{2}x}\:+\:5px\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{\partial^{2}p}{\partial^{2}x}\:+\:\frac{\partial^{2}q}{\partial^{2}x}\:-\:4p^{2}\:=\:0}$

线性微分方程

包含多个项的导数的线性多项式方程称为线性微分方程。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:2x^{2}y\:=\:-1}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:-\:x\:=\:-8}$

非线性微分方程

不能表示为线性多项式形式的微分方程称为非线性微分方程

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:p^{\frac{1}{3}}}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:-\:6x\:=\:2p^{4}}$

齐次微分方程

如果微分方程 𝑓(𝑥, 𝑦) 可以表示为 $\mathrm{m^{n}\:g(x\:,\:y)}$，则它称为齐次微分方程

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{x\:+\:5}{x\:-\:5}}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{x^{2}}{x^{2}\:-\:4}}$

非齐次微分方程

如果微分方程 𝑓(𝑥, 𝑦) 不能表示为 $\mathrm{m^{n}\:g(x\:,\:y)}$，则它称为非齐次微分方程。

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{x^{2}\:-\:2}{x}}$

已解决的示例

示例 1

确定以下微分方程的阶数和度数：

• $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{3}})^{2}\:+\:(\frac{dp}{dx})^{4}\:+\:2x\:=\:0}$

**解答**：

给定微分方程中存在的最高阶导数为 3 阶。

因此，方程的阶数为 3。

类似地，度数是最高阶导数的指数。在这种情况下，度数为 2。

∴ 给定微分方程的阶数和度数分别为 3 和 2。

示例 2

说明以下哪些微分方程是线性的：

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:x^{3}y\:=\:5}$

• $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:lnp\:-\:6\:=\:0}$

• $\mathrm{\frac{dp}{dx}\:+\:y^{5}\:=\:0}$

**解答**：

• 由于项 $\mathrm{\frac{dp}{dx}}$ 和 y 是线性的；因此，第一个方程是线性微分方程。

• lnp 不是线性项。因此，第二个方程不是线性微分方程。

• $\mathrm{y^{5}}$ 不是线性项。因此，第二个方程不是线性微分方程。

示例 3

检查函数 $\mathrm{p\:=\:2x^{2}}$ 是否是 $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:4\:=\:0}$ 的解。

给定的解是 $\mathrm{p\:=\:2x^{2}}$

现在，对等式两边求导。

$\mathrm{\frac{dp}{dx}\:=\:\frac{d}{dx}\:(2x^{2})\:=\:4x}$

再次对等式两边求导。

$\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\:(4x)\:=\:4}$

现在，将 $\mathrm{p\:,\:\frac{dp}{dx}\:and\:\frac{d^{2}p}{dx^{2}}}$ 的值代入给定的微分方程。

$\mathrm{LHS\:=\:\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:4\:=\:4\:+\:4x\:-\:4\:=\:\:4x\:\neq\:0}$

因此，$\mathrm{LHS\:\neq\:RHS}$

∴ 给定函数不是 $\mathrm{\frac{d^{2}p}{dx^{2}}\:+\:\frac{dp}{dx}\:-\:4\:=\:0}$ 的解。

文字题

**问题 1** − 确定以下微分方程的阶数和度数：

• $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{2}})^{\frac{1}{2}}\:+\:(\frac{dp}{dx})^{2}\:+\:2x\:=\:0}$

• $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{3}})^{4}\:-\:(\frac{dp}{dx})^{5}\:-\:7x^{2}\:=\:0}$

**问题 2** − 检查函数 𝑝 = 𝑙𝑛𝑥 是否是 $\mathrm{(\frac{d^{2}p}{dx^{2}})^{2}\:-\:5\:\frac{dp}{dx}\:=\:0}$ 的解。

**问题 3** − 培养物中细菌的数量在任何时间都是初始种群数量的 m 倍。制定微分方程。

结论

本教程简要介绍了微分方程。此外，还简要讨论了与微分方程相关的基本术语。此外，还提供了一些已解决的示例，以便更好地理解这一概念。总之，本教程可能有助于理解微分方程的基本概念。

常见问题解答

1. 微分方程可以有多少个解？

微分方程可能有多个解。

2. 微分方程的应用是什么？

它们被用于工程、科学、生物学、金融等各个领域。具体而言，它们被用于解决与电流、物体运动、微生物生长和热力学概念相关的难题。

3. 如何找到微分方程的解？

微积分中使用两种方法来确定微分方程的解。

• 变量分离法

• 积分因子法

我们将在下一个教程中详细分析这些方法。

4. 你所说的精确微分方程是什么意思？

如果一阶微分方程的结果是一个简单的微分，则称其为精确微分方程。

5. 微积分和微分方程有什么区别？

微积分是数学的一个分支，涉及微分和积分。微分方程是微积分的一种类型，它处理变量及其导数项。