麦克斯韦方程组

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简介

如果你在电动力学概念方面花了一些时间，那么你很有可能已经以某种形式接触过麦克斯韦方程组。即使当时你不知道它们叫什么，它们也一定会在你的概念中出现过。

麦克斯韦方程组构成了电动力学的基石。这四个方程与洛伦兹力定律一起构成了电动力学的基础，并且每个问题都可以单独使用这五个方程来解决。在本教程中，我们将讨论位移电流和麦克斯韦方程组。

什么是位移电流？

你一定学习过高斯定律、安培定律、法拉第定律等。你一定也学习过磁通密度的散度$\mathrm{\overrightarrow{B}}$是一个消失的量。也就是说$\mathrm{\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{B}\:=\:0}$ 这些方程对于静态情况来说是很好用的。但是，当电流不是随时间恒定不变时，安培定律就开始失效了。

为了纠正安培定律中的问题，麦克斯韦提出了添加一个称为位移电流密度的项，表示为位移场$\mathrm{\overrightarrow{D}}$的时间导数。从物理上讲，位移电流密度表示随时间变化的电场对安培定律的贡献。

请注意，位移电流密度本身并不是真正的电流。相反，它是电位移场的时间导数。在数学上，

$$\mathrm{\overrightarrow{D}\:=\:\varepsilon_{0}\overrightarrow{E}\:+\:\overrightarrow{P}}$$

这里，𝜖0是自由空间的介电常数，$\mathrm{\overrightarrow{E}}$是外加电场，$\mathrm{\overrightarrow{P}}$是极化强度。在这种情况下，

$$\mathrm{位移电流密度\:=\:\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial\:t}}$$

麦克斯韦第一方程

虽然讨论麦克斯韦方程组没有特定的顺序，但由于其简单性，人们可以认为高斯定律是第一个。

根据高斯定律，从一个表面流出的电场量与封闭在其内部的电荷成正比。请注意，在这种情况下，我们谈论的是静态电场。在讨论高斯定律时，表面的选择是完全任意的，我们选择最方便的那个。

在数学上，

$$\mathrm{\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{E}\:=\:\frac{Q}{\varepsilon_{0}}}$$

𝑄表示我们选择的表面内封闭的总电荷。

麦克斯韦第二方程

对于第二个方程，我们将注意力转向通常称为磁高斯定律的关系，尽管它并非真正的高斯定律。这种关系普遍成立，没有违反它的情况。

第二个方程意味着磁通密度的散度消失。在数学上，

$$\mathrm{\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{B}\:=\:0}$$

这个方程的物理意义是磁单极子不存在。因此，你可以拥有独立存在的正电荷和负电荷。但是，你不可能以某种方式存在北极和南极彼此独立的情况。即使你将一根条形磁铁切成两半，它也会导致两对南极和北极，而不是一个孤立的北极和一个孤立的南极。

麦克斯韦第三方程

第三个方程背后的概念非常有趣，它表明变化的磁场会产生电场。因此，这种关系是建立电和磁之间联系的一个关系。

这个概念是由法拉第提出的，也称为法拉第电磁感应定律。它写成如下：

$$\mathrm{\overrightarrow{\nabla}.\overrightarrow{E}\:=\:-\:\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial\:t}}$$

负号表示相反的方向。这是法拉第电磁感应定律用微分形式和电场和磁场表示。你一定以另一种形式学习过它，

$$\mathrm{\varepsilon\:=\:-\:\frac{\;d\phi}{dt}}$$

这里，𝜖是感应电动势，而𝜙是穿过线圈面积的磁通量。

麦克斯韦第四方程

第四个麦克斯韦方程是电动力学历史上最优雅和最具突破性的发现。第三个方程建立了电和磁之间的关系，而这个方程加强了这种联系，并使其成为双向的，而不是单向的。

根据这个方程，变化的电场会产生磁场，就像变化的磁场会产生电场一样。

最初，这是安培定律，它只将磁通密度与封闭电流联系起来。然而，麦克斯韦发现，在动态情况下，它会失效，因此通过添加一个额外的项来“修复”它。现在，第四个麦克斯韦方程被称为安培-麦克斯韦定律，写成如下：

$$\mathrm{\overrightarrow{\nabla}\times\overrightarrow{B}\:=\:\mu_{0}(\overrightarrow{J}\:+\:\varepsilon_{0}\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial\:t})}$$

𝐽→是电流密度。

麦克斯韦方程组的意义

麦克斯韦方程组是电动力学中极其重要和基本的定律，其中包含了我们对电动力学的全部知识。你必须知道，真空中光速是一个普遍的和基本的常数。通过结合麦克斯韦方程组并将它们与一般的波动方程进行比较，可以证明电磁波以该速度传播。

麦克斯韦方程组也以各种形式用于解决边值问题和相当容易地分析不同的场景。这些方程也与量子力学和爱因斯坦的广义相对论很好地配合。

结论

位移电流密度表示随时间变化的电场对磁通密度的贡献，并出现在麦克斯韦方程组中，以补偿安培环路定律中遇到的问题。它仅在变化的电场情况下才有意义，并且当电场随时间恒定时消失。如果$\mathrm{\overrightarrow{D}}$表示电位移场，则位移电流密度由$\mathrm{\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial\:t}}$给出。

麦克斯韦方程组构成了电动力学的基石，并且与洛伦兹力定律一起可以完全解释其中包含的概念。这些方程对于理解电动力学概念极其重要，并且也可以很容易地调整为静态情况。

常见问题

1. 位移电流与位移电流密度是否不同？

命名法相当混乱。位移电流本身并不代表电动力学中使用的物理量。相反，我们要么处理电位移矢量$\mathrm{\overrightarrow{D}}$，要么处理其时间导数，即位移电流密度。

2. 如果磁单极子存在，麦克斯韦第二方程会发生什么？

在这种（迄今尚未实现的）情况下，磁通密度的散度将不为零。其符号将取决于所讨论的具体情况。

3. 我们如何证明电磁波以光速传播？

这是通过用标量势和矢量势表示麦克斯韦方程组来实现的。我们实质上得到了电场和磁场的非齐次波动方程，这给了我们波速的值。

4. 我见过麦克斯韦方程组的积分形式。它们正确吗？

是的。麦克斯韦方程组可以用微分形式和积分形式表示。通过应用数学物理的概念，从一种形式转换为另一种形式非常容易。

Q5. 位移电流密度这个名称从何而来？

麦克斯韦对安培定律的修正包括添加项$\mathrm{\mu_{0}\epsilon_{0}\:=\:\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial\:t}}$。这可以与电位移矢量$\mathrm{\overrightarrow{D}}$相关联，因为$\mathrm{\overrightarrow{D}\:=\:\varepsilon_{0}\overrightarrow{E}\:+\:\overrightarrow{P}}$