求和
$1+(-2)+(-5)+(-8)+\ldots+(-236)$

要做的事

我们必须找到给定的和。

解决方案

(i) 给定的等差数列为 $1+(-2)+(-5)+(-8)+\ldots+(-236)$。

这里，

$a_1=1, d=-2-1=-3$ 

我们知道，

$a_n=a+ (n-1)d$

$S_n=\frac{n}{2}(a+l)$

这意味着，

$l=a_n= 1 + (n-1)(-3)$

$-236= 1-3n+3$

$-236= 4-3n$

$3n= 4 + 236$

$3n =240$

$n = 80$

因此，

$S_n=\frac{80}{2}[1+(-236)]$

$=40(-235)$

$=-9400$

因此，$1+(-2)+(-5)+(-8)+\ldots+(-236)=-9400$. 

(ii) 令给定等差数列的项数为 $n$，首项为 $a$，公差为 $d$。

首项 $a_1=a=4-\frac{1}{n}$

第二项 $a_2= 4-\frac{2}{n}$

公差 $d=a_2-a_1=4-\frac{2}{n}-(4-\frac{1}{n})=\frac{-2+1}{n}=\frac{-1}{n}$

我们知道，

$n$ 项的和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$=\frac{n}{2}[2(4-\frac{1}{n})+(n-1)(\frac{-1}{n})]$

$=\frac{n}{2}[\frac{8n-2-n+1}{n}]$

$=\frac{n}{2}(\frac{7n-1}{n})$

$=\frac{7n-1}{2}$

因此，给定级数的 $n$ 项的和为 $\frac{7n-1}{2}$。    

(iii) 在给定的序列中，

首项 $a_1=\frac{a-b}{a+b}$

公差 $d=\frac{3 a-2 b}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}$

$=\frac{2 a-b}{a+b}$

等差数列 $n$ 项的和 $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{n} =\frac{n}{2}[2 \frac{(a-b)}{(a+b)}+(n-1) \frac{(2 a-b)}{(a+b)}]$

$=\frac{n}{2}[\frac{2 a-2 b+2 a n-2 a-b n+b}{a+b}]$

$=\frac{n}{2}(\frac{2 a n-b n-b}{a+b})$

$S_{11}=\frac{11}{2}[\frac{2 a(11)-b(11)-b}{a+b}]$

$=\frac{11}{2}(\frac{22 a-12 b}{a+b})$

$=\frac{11(11 a-6 b)}{a+b}$

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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