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法律求过点$(5, -8), (2, -9)$和$(2, 1)$的圆的圆心。
已知
圆的圆心经过点$(5, -8), (2, -9)$和$(2, 1)$。
要求
我们需要找到给定圆的圆心。
解
设\( \mathrm{O} \)为圆心，\( \mathrm{A}(5,-8), \mathrm{B} \) (2,-9) 和 \( \mathrm{C}(2,1) \) 为圆上的点。
设\( \mathrm{O} \)的坐标为\( (x, y) \)。
这意味着，
\( \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC} \) (圆的半径)
\( \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2} \)
平方后，得到，
\( \mathrm{OA}^{2}=(x-5)^{2}+(y+8)^{2} \)
\( =x^{2}-10 x+25+y^{2}+16 y+64 \)
\( =x^{2}+y^{2}-10 x+16 y+89 \)
\( \mathrm{OB}^{2}=(x-2)^{2}+(y+9)^{2} \)
\( =x^{2}+4-4 x+y^{2}+81+18 y \)
\( =x^{2}+y^{2}-4 x+18 y+85 \)
\( \mathrm{OC}^{2}=(x-2)^{2}+(y-1)^{2} \)
\( =x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1 \)
\( =x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5 \)
\( \mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-10 x+16 y+89=x^{2}+y^{2}-4 x+18 y+85 \)
\( \Rightarrow -10 x+4 x+16 y-18 y=85-89 \)
\( \Rightarrow -6 x-2 y=-4 \)
\( \Rightarrow -2(3 x+y)=-2(2) \)
\( \Rightarrow 3 x+y=2 \).........(i)
\( \mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-4 x+18 y+85=x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5 \)
\( \Rightarrow 18 y+2 y=5-85 \)
\( \Rightarrow 20 y=-80 \)
\( \Rightarrow y=\frac{-80}{20}=-4 \)
将\( y \)的值代入(i)，得到，
\( \Rightarrow 3 x-4=2 \)
\( \Rightarrow 3 x=2+4=6 \)
\( \Rightarrow x=\frac{6}{3}=2 \)
因此，给定圆的圆心为$(2, -4)$。
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