求过点$(5, -8), (2, -9)$和$(2, 1)$的圆的圆心。

已知

圆的圆心经过点$(5, -8), (2, -9)$和$(2, 1)$。

要求

我们需要找到给定圆的圆心。

解

设$\mathrm{O}$为圆心，$\mathrm{A}(5,-8), \mathrm{B}$ (2,-9) 和 $\mathrm{C}(2,1)$ 为圆上的点。

设$\mathrm{O}$的坐标为$(x, y)$。

这意味着，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$         (圆的半径)
$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$ 

平方后，得到，

$\mathrm{OA}^{2}=(x-5)^{2}+(y+8)^{2}$

$=x^{2}-10 x+25+y^{2}+16 y+64$

$=x^{2}+y^{2}-10 x+16 y+89$
$\mathrm{OB}^{2}=(x-2)^{2}+(y+9)^{2}$
$=x^{2}+4-4 x+y^{2}+81+18 y$
$=x^{2}+y^{2}-4 x+18 y+85$
$\mathrm{OC}^{2}=(x-2)^{2}+(y-1)^{2}$
$=x^{2}-4 x+4+y^{2}-2 y+1$
$=x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5$

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-10 x+16 y+89=x^{2}+y^{2}-4 x+18 y+85$

$\Rightarrow -10 x+4 x+16 y-18 y=85-89$

$\Rightarrow -6 x-2 y=-4$

$\Rightarrow -2(3 x+y)=-2(2)$

$\Rightarrow 3 x+y=2$.........(i)
$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-4 x+18 y+85=x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5$

$\Rightarrow 18 y+2 y=5-85$
$\Rightarrow 20 y=-80$

$\Rightarrow y=\frac{-80}{20}=-4$
将$y$的值代入(i)，得到，

$\Rightarrow 3 x-4=2$

$\Rightarrow 3 x=2+4=6$
$\Rightarrow x=\frac{6}{3}=2$
因此，给定圆的圆心为$(2, -4)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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