一个圆的圆心坐标为$(2 a, a-7)$。如果该圆经过点$(11,-9)$且直径为$10 \sqrt{2}$个单位，求$a$的值。

已知

圆的圆心为$(2a, a – 7)$。

求解

如果圆经过点$(11, -9)$且直径为$10\sqrt2$个单位，求$a$的值。

解答

根据图形，

圆的半径 = 圆心C $(2a, a-7)$ 与点P $(11, -9)$ 之间的距离

我们知道，

两点$(x_{1}, y_{1})$和$(x_{2}, y_{2})$之间的距离为$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

圆的半径 =$\sqrt{(11-2a)^2+(-9-a+7)^2}$

$=\sqrt{(11-2a)^2+(2+a)^2}$......(i)

直径的长度$=10 \sqrt{2}$ 个单位。这意味着，

半径的长度$=\frac{\text {直径长度}}{2}$

$=\frac{10 \sqrt{2}}{2}=5 \sqrt{2}$

因此，

$5 \sqrt{2}=\sqrt{(11-2 a)^{2}+(-2-a)^{2}}$

两边平方，得到：

$50=(11-2 a)^{2}+(2+a)^{2}$

$\Rightarrow  50=121+4 a^{2}-44 a+4+a^{2}+4 a$

$\Rightarrow  5 a^{2}-40 a+75=0$

$\Rightarrow  a^{2}-8 a+15=0$

$\Rightarrow  a^{2}-5 a-3 a+15=0$

$\Rightarrow a(a-5)-3(a-5)=0$

$\Rightarrow(a-5)(a-3)=0$

$\therefore a=3,5$

因此，$a$ 的值为 5 和 3。 

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更新于：2022年10月10日

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