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法律研究一个圆的圆心为 $(2a, a – 7)$。如果该圆经过点 $(11, -9)$ 且直径为 $10\sqrt2$ 个单位，求 $a$ 的值。
已知
一个圆的圆心为 $(2a, a – 7)$。
要求
如果该圆经过点 $(11, -9)$ 且直径为 $10\sqrt2$ 个单位，求 $a$ 的值。
解答
根据图形，
圆的半径 = 圆心 $C (2a, a-7)$ 与点 $P (11, -9)$ 之间的距离
我们知道，
两点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 之间的距离 $=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
圆的半径 $=\sqrt{(11-2a)^2+(-9-a+7)^2}$
$=\sqrt{(11-2a)^2+(2+a)^2}$......(i)
直径的长度为 \( =10 \sqrt{2} \) 个单位。这意味着，
半径的长度 \( =\frac{\text {直径的长度}}{2} \)
\( =\frac{10 \sqrt{2}}{2}=5 \sqrt{2} \)
因此，
\( 5 \sqrt{2}=\sqrt{(11-2 a)^{2}+(-2-a)^{2}} \)
两边平方，得到：
\( 50=(11-2 a)^{2}+(2+a)^{2} \)
\( \Rightarrow 50=121+4 a^{2}-44 a+4+a^{2}+4 a \)
\( \Rightarrow 5 a^{2}-40 a+75=0 \)
\( \Rightarrow a^{2}-8 a+15=0 \)
\( \Rightarrow a^{2}-5 a-3 a+15=0 \)
\( \Rightarrow a(a-5)-3(a-5)=0\)
\( \Rightarrow(a-5)(a-3)=0 \)
\( \therefore a=3,5 \)
因此，\( a \) 的值分别为 5 和 3。
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