求过点$(6, -6), (3, -7)$和$(3, 3)$的圆的圆心。

已知

圆的圆心经过点$(6, -6), (3, -7)$和$(3, 3)$。

要求

我们必须找到给定圆的圆心。

解答

设$\mathrm{O}$为圆的圆心，$\mathrm{A}(6,-6), \mathrm{B} (3,-7)$和$\mathrm{C}(3,3)$为圆上的点。

设$\mathrm{O}$的坐标为$(x, y)$。

这意味着，

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$         (圆的半径)

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$ 

平方后，我们得到，

$\mathrm{OA}^{2}=(x-6)^{2}+(y+6)^{2}$

$=x^{2}-12 x+36+y^{2}+12 y+36$

$=x^{2}+y^{2}-12 x+12 y+72$

$\mathrm{OB}^{2}=(x-3)^{2}+(y+7)^{2}$

$=x^{2}+9-6 x+y^{2}+49+14 y$

$=x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58$

$\mathrm{OC}^{2}=(x-3)^{2}+(y-3)^{2}$

$=x^{2}+9-6 x+y^{2}-6 y+9$

$=x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+18$

$\mathrm{OA}^{2}=\mathrm{OB}^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-12 x+12 y+72=x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58$

$\Rightarrow -12x+6 x+12 y-14 y=58-72$

$\Rightarrow -6 x-2 y=-14$

$\Rightarrow -2(3 x+y)=-2(7)$

$\Rightarrow 3 x+y=7$.........(i)

$\mathrm{OB}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x+14 y+58=x^{2}+y^{2}-6 x-6 y+18$

$\Rightarrow 14 y+6 y=18-58$

$\Rightarrow 20 y=-40$

$\Rightarrow y=\frac{-40}{20}=-2$

将$y$的值代入(i)，我们得到，

$\Rightarrow 3 x-2=7$

$\Rightarrow 3 x=7+2=9$

$\Rightarrow x=\frac{9}{3}=3$ 

因此，给定圆的圆心为$(3, -2)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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