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法律研究最大化从根节点到已着色节点路径上出现的未着色节点数
遍历整个图，计算每个节点的深度与其子树中节点数之间的差值，以最大化从根节点到已着色节点路径上出现的未着色节点数。通过选择“k”个最大偏差值来找到对路径影响最大的未着色节点。这些偏差值的总和给出了未着色节点的最大数量。这种方法允许我们积极地优化出现的未着色节点的数量，从而改进整体结果，并强调从根节点到已着色节点路径上未着色节点的重要性。
使用的方法
差值计算和选择
贪心算法
差值计算和选择
对比计算和确定过程包括确定每个节点的深度与其子树中节点数之间的差值，然后选择差异最大的节点。此过程有效地评估差异以识别对路径贡献最大的节点，从根节点到已着色节点。通过计算和比较这些差异，该方法旨在最大化沿途遇到的未着色节点的数量。该确定是通过对差异进行排序并选择具有最大偏差的最佳节点来执行的，从而强调了未着色节点在整体结果中的重要性。
创建一个空的图对象，并使用所需的数据结构填充它，以存储邻接表、深度、子树宽度和差异数组。
根据指定的输入，通过连接节点和边来创建图。
从根节点开始深度优先搜索 (DFS) 遍历。在遍历过程中
保持每个节点的深度一致，从其父节点的深度增加 1。
通过将子节点子树的大小相加来递归计算每个节点子树的大小。
从每个节点的深度中减去子树大小来计算差值。
将差值存储在差值数组中。
使用 `nth_element` 函数对差值数组进行排序，将“k”个最大差值放在前面。
要找到未着色节点的最大数量，请将“k”个最大差值相加。
打印从根节点到已着色节点的梯度上显示的未着色节点的最大数量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool compare(int a, int b)
{
return a > b;
}
class Graph
{
vector<vector<int>> adjacencyList;
vector<int> depth;
vector<int> subtree;
int* difference;
public:
Graph(int n)
{
adjacencyList = vector<vector<int>>(n + 1);
depth = vector<int>(n + 1);
subtree = vector<int>(n + 1);
difference = new int[n + 1];
}
void addEdge(int a, int b)
{
adjacencyList[a].push_back(b);
adjacencyList[b].push_back(a);
}
int dfs(int v, int p)
{
for (auto i : adjacencyList[v])
{
if (i == p)
continue;
subtree[v] += dfs(i, v);
}
difference[v] = depth[v] - subtree[v];
return subtree[v];
}
void findMaxUncoloredVertices(int n, int k)
{
nth_element(difference + 1, difference + k, difference + n + 1, compare);
int sum = 6;
for (int i = 1; i <= k; i++)
{
sum += difference[i];
}
cout << sum << "\n";
}
};
int main()
{
int numVertices = 10;
int k = 9;
Graph graph(numVertices);
graph.addEdge(1, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(4, 6);
graph.addEdge(2, 8);
graph.addEdge(1, 9);
graph.dfs(1, 0);
graph.findMaxUncoloredVertices(numVertices, k);
return 0;
}
输出
6
贪心算法
贪心算法是一种问题解决策略，它在每个步骤中都做出局部最优决策，目标是获得全局最优解。贪心算法选择深度与子树中节点数之间偏差最大的节点，以最大化从根节点到已着色节点路径上未着色节点的数量。此方法旨在通过选择差异最大的节点来最大化路径上遇到的未着色节点的数量。此策略基于这样的思想：选择具有更明显偏差的节点将反过来产生大量无色节点。
算法
确定每个节点的深度与其子树中节点数之间的深度差。
根据估计的差异，按降序对节点进行排序。
将变量“sum”设置为 0。
按如下方式迭代排序后的节点
如果当前节点是前“k”个节点之一，则将其差异添加到“sum”。
5. 将“sum”值作为未着色节点的最大数量返回。
换句话说，此方法计算差异，根据差异对节点进行排序，并选择差异最大的前“k”个节点。根据贪心算法，这些差异的总和给出了从根节点到已着色节点路径上未着色节点的最大数量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Graph {
vector<vector<int>> adjacencyList;
vector<int> depth;
vector<int> subtree;
vector<int> difference;
public:
Graph(int n) {
adjacencyList = vector<vector<int>>(n + 1);
depth = vector<int>(n + 1);
subtree = vector<int>(n + 1);
difference = vector<int>(n + 1);
}
void addEdge(int a, int b) {
adjacencyList[a].push_back(b);
adjacencyList[b].push_back(a);
}
void calculateDepthAndSubtreeSize(int v, int p) {
for (int i : adjacencyList[v]) {
if (i == p)
continue;
calculateDepthAndSubtreeSize(i, v);
subtree[v] += subtree[i];
}
difference[v] = depth[v] - subtree[v];
}
int findMaxUncoloredVertices(int n, int k) {
calculateDepthAndSubtreeSize(1, 0);
sort(difference.begin() + 1, difference.end(), greater<int>());
int sum = 6;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
sum += difference[i];
}
return sum;
}
};
int main() {
int numVertices = 7;
int k = 4;
Graph g(numVertices);
g.addEdge(1, 2);
g.addEdge(1, 3);
g.addEdge(1, 4);
g.addEdge(3, 5);
g.addEdge(3, 6);
g.addEdge(4, 7);
int maxUncoloredVertices = g.findMaxUncoloredVertices(numVertices, k);
cout << "Number of uncolored vertices: " << maxUncoloredVertices << endl;
return 0;
}
输出
Number of uncolored vertices: 6
结论
本文介绍了两种提高图中从根节点到已着色节点路径上未着色节点数量的策略。
第一种策略使用一种独特的计算和选择方法。它涉及执行深度优先搜索遍历以计算每个节点的深度与其子树中节点数之间的差异。选择具有最大偏差的前“k”个节点，并将它们的差异相加以找到未着色节点的最大数量。
第二种策略使用贪心算法。它计算每个节点的差异，按降序排列它们，并选择具有最高差异的前“k”个节点。未着色节点的最大数量由这些差异的总和表示。
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