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法律研究一个等边三角形有两个顶点分别位于点 (3, 4)，和 (-2, 3)，求第三个顶点的坐标。
问题
一个等边三角形有两个顶点分别位于点 (3, 4)，和 (-2, 3)。
求
我们求第三个顶点的坐标。
解
设等边三角形的两个顶点分别为 A (3,4) 和 B (-2,3)，而第三个顶点为 C (x, y)。
这表示：
$AB=BC=CA$
我们知道：
两点 \( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 和 \( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 之间的距离为 \( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此：
\( AB=\sqrt{(-2-3)^2+(3-4)^2} \)
\( =\sqrt{(-5)^2+(-1)^2} \)
\( =\sqrt{25+1} \)
\( =\sqrt{26} \)
\( BC=\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2} \)
\( C A=\sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}} \)
\( \mathrm{BC}=\mathrm{AB} \)
\( \Rightarrow \sqrt{(x+2)^{2}+(y-3)^{2}}=\sqrt{26} \)
两边平方，我们得到：
\( \Rightarrow(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=26 \)
\( \Rightarrow x^{2}+4 x+4+y^{2}-6 y+9=26 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+13=26 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+4 x-6 y=26-13=13 \).......(i)
\( \mathrm{CA}=\mathrm{AB} \)
\( \Rightarrow \sqrt{(3-x)^{2}+(4-y)^{2}}=\sqrt{26} \)
两边平方，我们得到：
\( \Rightarrow (3-x)^{2}+(4-y)^{2}=26 \)
\( \Rightarrow 9+x^{2}-6 x+16+y^{2}-8 y=26 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+25=26 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=26-25=1 \)..........(ii)
将 (ii) 从 (i) 中减去，得到
\( 10 x+2 y=12 \)
\( 5 x+y=6 \)
\( y=6-5 x \)
将 \( y=6-5x \) 代入 (i)，得到
\( x^{2}+(6-5 x)^{2}+4 x-6(6-5 x)=13 \)
\( \Rightarrow x^{2}+36+25 x^{2}-60 x+4 x-36+30 x-13=0 \)
\( \Rightarrow 26 x^{2}-26 x-13=0 \)
\( \Rightarrow 2 x^{2}-2 x-1=0 \)
\( x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^{2}-4 \times 2 \times(-1)}}{2 \times 2} \)
\( =\frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{4} \)
\( =\frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} \)
\( =\frac{2 \pm \sqrt{4 \times 3}}{4} \)
\( =\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4} \)
\( =\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \)
\( x=\frac{1+\sqrt{3}}{2} \) 或 \( x=\frac{1-\sqrt{3}}{2} \)
如果 \( x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \) 则
\( y=6-5 x \)
\( =6-\frac{5(1+\sqrt{3})}{2} \)
\( =\frac{12-5-5 \sqrt{3}}{2} \)
\( =\frac{7-5 \sqrt{3}}{2} \)
如果 \( x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \) 则
\( y=6-5 x=6-5 \frac{(1-\sqrt{3})}{2} \)
\( =\frac{12-5+5 \sqrt{3}}{2} \)
\( =\frac{7+5 \sqrt{3}}{2} \)
因此，第三个顶点的坐标是 \( \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{7-5 \sqrt{3}}{2}\right) \) 或 \( \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{7+5 \sqrt{3}}{2}\right) \)
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