如果$(0, -3)$和$(0, 3)$是等边三角形的两个顶点，求第三个顶点的坐标。

已知

$(0, -3)$和$(0, 3)$是等边三角形的两个顶点。

要求

我们必须找到第三个顶点的坐标。

解答

设$A (0, -3)$和$B (0, 3)$是等边三角形的两个顶点，第三个顶点的坐标为$C (x, y)$。

这意味着，

$AB=BC=CA$

我们知道，

两点$\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)$和$\mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$之间的距离为$\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$。

因此，

$\mathrm{AC}=\mathrm{AB}$

$\Rightarrow (x-0)^{2}+(y+3)^{2}=(0-0)^{2}+(3+3)^{2}$

$\Rightarrow x^{2}+(y+3)^{2}=0+(6)^{2}=36$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6 y+9=36$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+6 y=36-9=27$......(i)

$\mathrm{BC}=\mathrm{AB}$

$\Rightarrow (x-0)^{2}+(y-3)^{2}=36$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+9-6 y=36$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 y=36-9=27$........(ii)

从(i)和(ii)，

$x^{2}+y^{2}+6 y=x^{2}+y^{2}-6 y$

$x^{2}+y^{2}+6 y-x^{2}-y^{2}+6 y=0$

$12 y=0$

$\Rightarrow y=0$

从(i)，

$x^{2}+y^{2}+6 y=27$

$x^{2}+0+0=27$

$x=\pm \sqrt{9 \times 3}$

$=\pm 3 \sqrt{3}$

$x=\pm 3 \sqrt{3}$ 且 $y=0$。

因此，第三点的坐标为$(3 \sqrt{3}, 0)$或$(-3 \sqrt{3}, 0)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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