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法律研究如果$(0, -3)$和$(0, 3)$是等边三角形的两个顶点，求第三个顶点的坐标。
已知
$(0, -3)$和$(0, 3)$是等边三角形的两个顶点。
要求
我们必须找到第三个顶点的坐标。
解答
设$A (0, -3)$和$B (0, 3)$是等边三角形的两个顶点，第三个顶点的坐标为$C (x, y)$。
这意味着，
$AB=BC=CA$
我们知道，
两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AC}=\mathrm{AB} \)
\( \Rightarrow (x-0)^{2}+(y+3)^{2}=(0-0)^{2}+(3+3)^{2} \)
\( \Rightarrow x^{2}+(y+3)^{2}=0+(6)^{2}=36 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+6 y+9=36 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+6 y=36-9=27 \)......(i)
\( \mathrm{BC}=\mathrm{AB} \)
\( \Rightarrow (x-0)^{2}+(y-3)^{2}=36 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}+9-6 y=36 \)
\( \Rightarrow x^{2}+y^{2}-6 y=36-9=27 \)........(ii)
从(i)和(ii)，
\( x^{2}+y^{2}+6 y=x^{2}+y^{2}-6 y \)
\( x^{2}+y^{2}+6 y-x^{2}-y^{2}+6 y=0 \)
\( 12 y=0 \)
\( \Rightarrow y=0 \)
从(i)，
\( x^{2}+y^{2}+6 y=27 \)
\( x^{2}+0+0=27 \)
\( x=\pm \sqrt{9 \times 3} \)
\( =\pm 3 \sqrt{3} \)
\( x=\pm 3 \sqrt{3} \) 且 \( y=0 \)。
因此，第三点的坐标为\( (3 \sqrt{3}, 0) \)或\( (-3 \sqrt{3}, 0) \)。
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