如果多项式 $x^{3} -4x^{2} -3x+12=0$ 的两个零点是 $\sqrt{3}$ 和 $-\sqrt{3}$，则求其第三个零点。

已知：多项式 $x^{3} -4x^{2} -3x+12=0$，其两个零点为 $\displaystyle \sqrt{3}$ 和 $ -\sqrt{3}$

求解：求其第三个零点。

已知多项式为 $x^{3} -4x^{2} -3x+12=0$

对于多项式 $ax^{3} +bx^{2} +cx+d=0$，如果其零点为 $\alpha,\beta\ 和\ \gamma $。

$\alpha+\beta+\gamma=-b/a$

这里 $a\ =\ 1,\ b=-4,\ c=-3\ 和\ d=12\ $

且 $\alpha=\sqrt{3} ,\ \beta=-\sqrt{3}$，我们需要求解第三个零点 $\gamma$。

$\therefore \sqrt{3} -\sqrt{3} +\gamma=-( -4)$

$\Rightarrow \gamma=4$

因此，该多项式的第三个零点为 4。