如果已知多项式 $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$ 的两个零点是 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$，求该多项式的其他所有零点。

已知

多项式 $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$，其中两个零点是 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$。

求解

我们需要求出所有其他的零点。

解

如果 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ 是给定多项式的零点，那么 $(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})$ 是它的一个因式。

这意味着：

$(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})=x^2-(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=x^2-\frac{5}{3}$

因此：

被除式 $f(x)\ =\ 3x^4\ + \ 6x^3\ –\ 2x^2\ -\ 10x\ -\ 5$

除式 $=x^2-\frac{5}{3}$

$3x^2-5$)$3x^4+6x^3-2x^2-10x-5$($x^2+2x+1$

                $3x^4-5x^2$

             ---------------------

                   $6x^3+3x^2-10x-5$

                   $6x^3-10x$

                 ---------------------

                            $3x^2-5$

                            $3x^2-5$

                         ------------

                                  $0$

                        ------------

商 $=x^2+2x+1$

$f(x)=(x^2-\frac{5}{3})(x^2+2x+1)$

为了找到其他的零点，令 $x^2+2x+1=0$。

$x^2+x+x+1=0$

$x(x+1)+1(x+1)=0$

$(x+1)(x+1)=0$

$x+1=0$ 且 $x+1=0$

$x=-1$ 且 $x=-1$

$f(x)$ 的所有零点是 $-1$，$-1$，$-\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $\sqrt{\frac{5}{3}}$。

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更新于：2022年10月10日

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