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法学研究如果已知多项式 $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$ 的两个零点是 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$，求该多项式的其他所有零点。
已知
多项式 $3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5$，其中两个零点是 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$。
求解
我们需要求出所有其他的零点。
解
如果 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $-\sqrt{\frac{5}{3}}$ 是给定多项式的零点，那么 $(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})$ 是它的一个因式。
这意味着：
$(x+\sqrt{\frac{5}{3}})(x-\sqrt{\frac{5}{3}})=x^2-(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=x^2-\frac{5}{3}$
因此：
被除式 $f(x)\ =\ 3x^4\ + \ 6x^3\ –\ 2x^2\ -\ 10x\ -\ 5$
除式 $=x^2-\frac{5}{3}$
$3x^2-5$)$3x^4+6x^3-2x^2-10x-5$($x^2+2x+1$
$3x^4-5x^2$
---------------------
$6x^3+3x^2-10x-5$
$6x^3-10x$
---------------------
$3x^2-5$
$3x^2-5$
------------
$0$
------------
商 $=x^2+2x+1$
$f(x)=(x^2-\frac{5}{3})(x^2+2x+1)$
为了找到其他的零点，令 $x^2+2x+1=0$。
$x^2+x+x+1=0$
$x(x+1)+1(x+1)=0$
$(x+1)(x+1)=0$
$x+1=0$ 且 $x+1=0$
$x=-1$ 且 $x=-1$
$f(x)$ 的所有零点是 $-1$，$-1$，$-\sqrt{\frac{5}{3}}$ 和 $\sqrt{\frac{5}{3}}$。
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