将分母有理化并化简：\( \frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}} \)

已知

\( \frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}} \)

要求：

我们将分母有理化并化简给定的表达式。

解答

我们知道，

分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此，

$\frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}}=\frac{(2 \sqrt{3}-\sqrt{5})(2 \sqrt{2}-3 \sqrt{3})}{(2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3})(2 \sqrt{2}-3 \sqrt{3})}$

$=\frac{4 \sqrt{6}-6 \sqrt{3} \times \sqrt{3}-2 \sqrt{10}+3 \sqrt{15}}{(2 \sqrt{2})^{2}-(3 \sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{4 \sqrt{6}-18-2 \sqrt{10}+3 \sqrt{15}}{8-27}$

$=\frac{-18-2 \sqrt{10}+4 \sqrt{6}+3 \sqrt{15}}{-19}$

$=\frac{18+2 \sqrt{10}-4 \sqrt{6}-3 \sqrt{15}}{19}$

因此，$\frac{2 \sqrt{3}-\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}}=\frac{18+2 \sqrt{10}-4 \sqrt{6}-3 \sqrt{15}}{19}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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