将分母有理化并化简：\( \frac{1+\sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \)

已知

\( \frac{1+\sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \)

要求：

我们必须将分母有理化并化简给定的表达式。

解答

我们知道，

分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}}$。

分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此，

$\frac{1+\sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}=\frac{(1+\sqrt{2})(3+2 \sqrt{2})}{(3-2 \sqrt{2})(3+2 \sqrt{2})}$

$=\frac{3+2 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} \times \sqrt{2}}{(3)^{2}-(2 \sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{3+5 \sqrt{2}+4}{9-8}$

$=\frac{7+5 \sqrt{2}}{1}$

$=7+5 \sqrt{2}$

因此，$\frac{1+\sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}=7+5 \sqrt{2}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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