化简
\( \frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)

已知

\( \frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)

要求：

我们必须化简给定的表达式。

解答

我们知道：

分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此：

$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})}$

$=\frac{(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3})^{2}}{(3 \sqrt{2})^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{9 \times 2+4 \times 3-2 \times 3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3}}{9 \times 2-4 \times 3}$

$=\frac{18+12-12 \sqrt{6}}{18-12}$

$=\frac{30-12 \sqrt{6}}{6}$

$=5-2 \sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{4 \times 3})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$

$=\frac{2 \sqrt{3}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{2 \times 3+2 \sqrt{6}}{3-2}$

$=\frac{6+2 \sqrt{6}}{1}$

$=6+2 \sqrt{6}$

因此：

$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=5-2 \sqrt{6}+6+2 \sqrt{6}$

$=11$

因此，$\frac{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=11$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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