化简：\( \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \)

已知

\( \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \)

要求：

我们必须化简给定的表达式。

解答

我们知道：

分母为${\sqrt{a}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分式的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此：

$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$

$=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}$

$=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}$

$=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{1 \times(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}$

$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}$

$=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}$

$=\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}$

$=\frac{3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}$

$=\sqrt{5}-\sqrt{2}$

因此：

$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})-(\sqrt{5}-\sqrt{2})$

$=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{5}+\sqrt{2}$

$=0$

因此，$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=0$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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