化简
\( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \)

已知

\( \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \)

要求： 

我们要求化简给定的表达式。

解答

我们知道，

分母为 ${\sqrt{a}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}}$。

分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此，

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

$=\frac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^{2}+2\sqrt5\times\sqrt3+(\sqrt{5})^2+(\sqrt{3})^{2}-2\sqrt5\sqrt3}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

$=\frac{2[(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}]}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$

$=\frac{2(5+3)}{5-3}$

$=\frac{2 \times 8}{2}$

$=8$

因此， $\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=8$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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