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法学研究将分母有理化并化简：\( \frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}} \)
已知
\( \frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}} \)
要求：
我们必须将分母有理化并化简给定的表达式。
解答
我们知道：
分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}}$。
分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此：
$\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}=\frac{(4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2})(\sqrt{48}-\sqrt{18})}{(\sqrt{48}+\sqrt{18})(\sqrt{48}-\sqrt{18})}$
$=\frac{4 \sqrt{144}-4 \sqrt{54}+5 \sqrt{96}-5 \sqrt{36}}{(\sqrt{48})^{2}-(\sqrt{18})^{2}}$
$=\frac{4 \times 12-4 \sqrt{9 \times 6}+5 \sqrt{16 \times 6}-5 \times 6}{48-18}$
$=\frac{48-4 \times 3 \sqrt{6}+5 \times 4 \sqrt{6}-30}{30}$
$=\frac{48-30-12 \sqrt{6}+20 \sqrt{6}}{30}$
$=\frac{18+8 \sqrt{6}}{30}$
$=\frac{9+4 \sqrt{6}}{15}$
因此，$\frac{4 \sqrt{3}+5 \sqrt{2}}{\sqrt{48}+\sqrt{18}}=\frac{9+4 \sqrt{6}}{15}$。
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