证明：$\frac{12}{3+\sqrt{5}-2 \sqrt{2}}=\sqrt{10}+\sqrt{5}-\sqrt{2}+1$

待办事项

我们需要证明 $\frac{12}{3+\sqrt{5}-2 \sqrt{2}}=\sqrt{10}+\sqrt{5}-\sqrt{2}+1$.

解答

对分母进行有理化，得到：

$\begin{array}{l} \frac{12}{3+\sqrt{5} -2\sqrt{2}} =\frac{12\left( 3+\sqrt{5} +2\sqrt{2}\right)}{\left( 3+\sqrt{5} -2\sqrt{2}\right)\left( 3+\sqrt{5} +2\sqrt{2}\right)}\\ =\frac{36+12\sqrt{5} +24\sqrt{2}}{\left( 3+\sqrt{5}\right)^{2} -\left( 2\sqrt{2}\right)^{2}}\\ =\frac{36+12\sqrt{5} +24\sqrt{2}}{9+5+6\sqrt{5} -8}\\ =\frac{36+12\sqrt{5} +24\sqrt{2}}{6+6\sqrt{5}}\\ =\frac{6+2\sqrt{5} +4\sqrt{2}}{1+\sqrt{5}}\\ =\frac{6+2\sqrt{5} +4\sqrt{2}\left(\sqrt{5} -1\right)}{\left(\sqrt{5} +1\right)\left(\sqrt{5} -1\right)}\\ =\frac{6\sqrt{5} -6+2\sqrt{5\times 5} -2\sqrt{5} +4\sqrt{2\times 5} -4\sqrt{2}}{5-1}\\ =\frac{4\sqrt{5} -6+10+4\sqrt{10} -4\sqrt{2}}{4}\\ =\frac{4\left(\sqrt{10} +\sqrt{5} -\sqrt{2} +1\right)}{4}\\ =\sqrt{10} +\sqrt{5} -\sqrt{2} +1 \end{array}$

因此得证。 

Tutorialspoint

更新于： 2022年10月10日

78 次查看

开启你的职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习