简化下列每个表达式
(i) \( (3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2}) \)
(ii) \( (3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3}) \)
(iii) \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2} \)
(iv) \( (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \)
需要做:
我们需要简化给定的表达式。
解答
我们知道,
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)$
因此,
(i) $(3+\sqrt{3})(2+\sqrt{2})=3(2+\sqrt2)+\sqrt3(2+\sqrt2)$
$=3(2)+3\times \sqrt2+\sqrt3 \times2+\sqrt3 \times \sqrt2$
$=6+3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt{3\times2}$
$=6+3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6$
(ii) $(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})=(3)^2-(\sqrt3)^2$
$=9-3$
$=6$
(iii) $(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}+2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{3}$
$=5+3+2 \sqrt{5\times3}$
$=8+2 \sqrt{15}$
(iv) $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})=(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2$$=5-2$
$=3$
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