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法律研究将下列各数化成有理数分母的形式：\( \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}} \)
已知
\( \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}} \)
要求：
我们要将给定的分数化成有理数分母。
解答
我们知道，
分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因式是${\sqrt{a}}$。
分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因式是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。
分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因式是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。
因此，
$\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}+1)(2 \sqrt{2}+\sqrt{3})}{(2 \sqrt{2}-\sqrt{3})(2 \sqrt{2}+\sqrt{3})}$
$=\frac{\sqrt{3} \times 2 \sqrt{2}+\sqrt{3} \times \sqrt{3}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{(2 \sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}$ [因为 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$]
$=\frac{2 \sqrt{6}+3+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}}{8-3}$
$=\frac{2 \sqrt{6}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3}{5}$
因此，$\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{6}+2 \sqrt{2}+\sqrt{3}+3}{5}$。
更新于: 2022年10月10日
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