将下列各式化为分母为有理数的分数：\( \frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3} \)

已知

\( \frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3} \)

要求：

我们将给定分数化成分母为有理数的分数。

解答

我们知道：

分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因子为${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因子为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因子为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此：

$\frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3}=\frac{(3 \sqrt{2}+1)(2 \sqrt{5}+3)}{(2 \sqrt{5}-3)(2 \sqrt{5}+3)}$

$=\frac{3 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{5}+3 \times 3 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{(2 \sqrt{5})^{2}-(3)^{2}}$

$=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{20-9}$

$=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{11}$

因此，$\frac{3 \sqrt{2}+1}{2 \sqrt{5}-3}=\frac{6 \sqrt{10}+9 \sqrt{2}+2 \sqrt{5}+3}{11}$。

教程点

更新于：2022年10月10日

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