将下列各式化为有理分母：\( \frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}} \)

已知

\( \frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}} \)

要求：

我们将给定分数化成有理分母。

解答

我们知道：

分母为${\sqrt{a}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}}$。

分母为${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。

分母为${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$的分数的有理化因子是${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$。

因此：

$\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}=\frac{(6-4 \sqrt{2})(6-4 \sqrt{2})}{(6+4 \sqrt{2})(6-4 \sqrt{2})}$

$=\frac{(6-4 \sqrt{2})^{2}}{(6)^{2}-(4 \sqrt{2})^{2}}$

$=\frac{36+16 \times 2-2 \times 6 \times 4 \sqrt{2}}{36-32}$

$=\frac{36+32-48 \sqrt{2}}{4}$

$=\frac{68-48 \sqrt{2}}{4}$

$=17-12 \sqrt{2}$

因此，$\frac{6-4 \sqrt{2}}{6+4 \sqrt{2}}=17-12 \sqrt{2}$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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