求一个二次多项式，其零点为$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$。

已知：二次多项式的零点为$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$。

要求：写出具有给定零点的多项式。

解答

如给定，多项式的零点为$\frac{3+\sqrt{5}}{5}$和$\frac{3-\sqrt{5}}{5}$。

根的和$=\alpha+\beta=\frac{3+\sqrt{5}}{5}+\frac{3-\sqrt{5}}{5}$

$=\frac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{5}$

$=\frac{6}{5}$

零点的积$\alpha\beta=( \frac{3+\sqrt{5}}{5})( \frac{3-\sqrt{5}}{5})$

$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{( 3+\sqrt{5})( 3-\sqrt{5})}{5\times5}$

$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{3^2-( \sqrt{5})^2}{25}$

$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{9-5}{25}$

$\Rightarrow \alpha\beta=\frac{4}{25}$

因此，多项式：$x^2-( \alpha+\beta)x+( \alpha\beta)=0$

$\Rightarrow x^2-\frac{6}{5}x+\frac{4}{25}=0$

$\Rightarrow 25x^2-30x+4=0$

因此，多项式为$25x^2-30x+4=0$。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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