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法律研究已知三次多项式 \( x^{3}-3 \sqrt{5} x^{2}+13 x-3 \sqrt{5} \) 的一个因式为 \( x-\sqrt{5} \)，求该多项式的所有零点。
已知
给定的多项式是 $x^3\ -\ 3\sqrt{5}x^2\ +\ 13x\ -\ 3\sqrt{5}$。$x\ -\ \sqrt{5}$ 是给定三次多项式的一个因式。
求解
我们必须找到给定多项式的所有零点。
解答
$x-\sqrt{5}$ 是给定多项式的一个因式。
应用除法算法，
被除数$=x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$
除数$=x-\sqrt{5}$
$x-\sqrt5$)$x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$($x^2-2\sqrt{5}x+3$
$x^3-\sqrt{5}x^2$
-----------------------------------------
$-2\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}$
$-2\sqrt{5}x^2+10x$
---------------------------------
$3x-3\sqrt{5}$
$3x-3\sqrt{5}$
----------------------
$0$
因此，
商$=x^2-2\sqrt{5}x+3$
$x^3-3\sqrt{5}x^2+13x-3\sqrt{5}=(x-\sqrt{5})(x^2-2\sqrt{5}x+3)$
为了得到其他零点，令 $x^2-2\sqrt{5}x+3=0$。
$x^2-2\sqrt{5}x+3=0$
$x=\frac{-( -2\sqrt{5}) \pm \sqrt{( -2\sqrt{5})^{2}-4( 1)( 3)}}{2( 1)}$
$x=\frac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{20-12}}{2}$
$x=\frac{2\sqrt{5} \pm \sqrt{8}}{2}$
$x=\frac{2\sqrt{5} \pm 2\sqrt{2}}{2}$
$x=\sqrt{5} +\sqrt{2}$ 或 $x=\sqrt{5} -\sqrt{2}$
给定多项式的所有零点是 $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{5}-\sqrt{2}$。
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