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法学已知三次多项式 \( 6 x^{3}+\sqrt{2} x^{2}-10 x-4 \sqrt{2} \) 的一个零点是 \( \sqrt{2} \)，求其另外两个零点。
已知
已知多项式为 $6x^3\ +\ \sqrt{2}x^2\ -\ 10x\ -\ 4\sqrt{2}$，其零点之一为 $\sqrt2$。
解题步骤
我们必须找到该多项式的所有零点。
解答
如果 $a$ 是 $f(x)$ 的零点，则 $(x-a)$ 是 $f(x)$ 的一个因式。
因此，
$x-\sqrt{2}$ 是已知多项式的一个因式。
应用除法算法，
被除式$=6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$
除式$x-\sqrt{2}$
$x-\sqrt2$)$6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$($6x^2+7\sqrt{2}x+4$
$6x^3-6\sqrt{2}x^2$
-----------------------------
$7\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$
$7\sqrt{2}x^2-14x$
-----------------------
$4x-4\sqrt{2}$
$4x-4\sqrt{2}$
----------------------
$0$
因此，
商$=6x^2+7\sqrt{2}x+4$
$6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})(6x^2+7\sqrt{2}x+4)$
为了得到其他的零点，令 $6x^2+7\sqrt{2}x+4=0$。
$6x^2+7\sqrt{2}x+4=0$
$6x^2+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}x+4=0$
$3x(2x+\sqrt2)+2\sqrt2(2x+\sqrt2)=0$
$(3x+2\sqrt2)(2x+\sqrt2)=0$
$3x+2\sqrt2=0$ 或 $2x+\sqrt2=0$
$3x=-2\sqrt2$ 或 $2x=-\sqrt2$
$x=-\frac{2\sqrt2}{3}$ 或 $x=-\frac{\sqrt2}{2}$
已知多项式的所有零点为 $\sqrt{2}$，$-\frac{2\sqrt2}{3}$ 和 $-\frac{\sqrt2}{2}$。
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