已知三次多项式 $6 x^{3}+\sqrt{2} x^{2}-10 x-4 \sqrt{2}$ 的一个零点是 $\sqrt{2}$，求其另外两个零点。

已知

已知多项式为 $6x^3\ +\ \sqrt{2}x^2\ -\ 10x\ -\ 4\sqrt{2}$，其零点之一为 $\sqrt2$。

解题步骤

我们必须找到该多项式的所有零点。

解答

如果 $a$ 是 $f(x)$ 的零点，则 $(x-a)$ 是 $f(x)$ 的一个因式。

因此，

$x-\sqrt{2}$ 是已知多项式的一个因式。

应用除法算法，

被除式$=6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$

除式$x-\sqrt{2}$

$x-\sqrt2$)$6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$($6x^2+7\sqrt{2}x+4$

                    $6x^3-6\sqrt{2}x^2$

                  -----------------------------

                      $7\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}$

                      $7\sqrt{2}x^2-14x$

                     -----------------------

                                         $4x-4\sqrt{2}$                                    

                                         $4x-4\sqrt{2}$

                                     ----------------------

                                                 $0$  

因此，

商$=6x^2+7\sqrt{2}x+4$

$6x^3+\sqrt{2}x^2-10x-4\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})(6x^2+7\sqrt{2}x+4)$

为了得到其他的零点，令 $6x^2+7\sqrt{2}x+4=0$。

$6x^2+7\sqrt{2}x+4=0$

$6x^2+3\sqrt{2}x+4\sqrt{2}x+4=0$

$3x(2x+\sqrt2)+2\sqrt2(2x+\sqrt2)=0$

$(3x+2\sqrt2)(2x+\sqrt2)=0$

$3x+2\sqrt2=0$ 或 $2x+\sqrt2=0$

$3x=-2\sqrt2$ 或 $2x=-\sqrt2$

$x=-\frac{2\sqrt2}{3}$ 或 $x=-\frac{\sqrt2}{2}$

已知多项式的所有零点为 $\sqrt{2}$，$-\frac{2\sqrt2}{3}$ 和 $-\frac{\sqrt2}{2}$。 

教程点

更新于: 2022年10月10日

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