如果一个多项式为 $2x^4\ -\ 9x^3\ +\ 5x^2\ +\ 3x\ -\ 1$，其中两个零点为 $2\ +\ \sqrt{3}$ 和 $2\ -\ \sqrt{3}$，求该多项式的所有零点。

已知

已知多项式为 $2x^4\ -\ 9x^3\ +\ 5x^2\ +\ 3x\ -\ 1$，且其两个零点为 $2\ +\ \sqrt{3}$ 和 $2\ -\ \sqrt{3}$。

要求

求该多项式的所有零点。

解

如果 $2\ +\ \sqrt{3}$ 和 $2\ -\ \sqrt{3}$ 是该多项式的零点，则 $(x-(2+\sqrt3))(x-(2-\sqrt3))$ 是其一个因式。

这意味着，

$(x-(2+\sqrt3))(x-(2-\sqrt3))=x^2-(2-\sqrt3)x-(2+\sqrt3)x+(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)$

$=x^2-2x+\sqrt{3}x-2x-\sqrt{3}x+(2^2-(\sqrt3)^2)$

$=x^2-4x+(4-3)$

$=x^2-4x+1$

因此，

被除数$=2x^4-9x^3+5x^2+3x-1$

除数$=x^2-4x+1$

$x^2-4x+1$)$2x^4-9x^3+5x^2+3x-1$($2x^2-x-1$

商$=2x^2-x-1$

为了找到其他零点，令 $2x^2-x-1=0$。

$2x^2-x-1=0$

$2x^2+2x-x-1=0$

$2x(x+1)-1(x+1)=0$

$(x+1)(2x-1)=0$

$x+1=0$ 或 $2x-1=0$

$x=-1$ 或 $2x=1$

$x=-1$ 或 $x=\frac{1}{2}$

该多项式的所有零点为  $2\ +\ \sqrt{3}$，$2\ -\ \sqrt{3}$，$-1$ 和 $\frac{1}{2}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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