已知多项式 $2x^4\ +\ 7x^3\ -\ 19x^2\ -\ 14x\ +\ 30$ 的两个零点为 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$，求该多项式的所有零点。

已知

已知多项式为 $2x^4\ +\ 7x^3\ -\ 19x^2\ -\ 14x\ +\ 30$，其中两个零点为 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$。

求解

我们需要求出该多项式的所有零点。

解答

如果 $\sqrt{2}$ 和 $-\sqrt{2}$ 是该多项式的零点，则 $(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})$ 是其一个因子。

这意味着：

$(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)=x^2-(\sqrt{2})^2=x^2-2$

因此：

被除数$=2x^4+7x^3-19x^2-14x+30$

除数$=x^2-2$

$x^2-2$)$2x^4+7x^3-19x^2-14x+30$($2x^2+7x-15$

商$=2x^2+7x-15$

为了找到其他零点，令 $2x^2+7x-15=0$。

$2x^2+10x-3x-15=0$

$2x(x+5)-3(x+5)=0$

$(x+5)(2x-3)=0$

$x+5=0$ 或 $2x-3=0$

$x=-5$ 或 $2x=3$

$x=-5$ 或 $x=\frac{3}{2}$

该多项式的所有零点为 $-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$-5$ 和 $\frac{3}{2}$。

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更新于：2022年10月10日

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