求下列二次多项式的零点，并验证零点与其系数之间的关系

$p(x)\ =\ x^2\ +\ 2\sqrt{2}x\ –\ 6$

$f(x) = x^2 + 2\sqrt{2}x – 6$

这里，我们需要求出 f(x) 的零点。

为了求出 f(x) 的零点，我们需要令 $f(x)=0$。

这意味着：

$x^2 +2\sqrt{2}x – 6 = 0$

$x^2 +3\sqrt{2}x -\sqrt{2}x – 6= 0$

$x(x +3\sqrt{2}) -\sqrt{2}(x +3\sqrt{2}) = 0$ (此处原文有误，已更正)

$(x +3\sqrt{2})(x -\sqrt{2}) = 0$

$x+3\sqrt{2}=0$ 且 $x-\sqrt{2}=0$

$x =-3\sqrt{2}$ 且 $x = \sqrt{2}$

因此，二次方程 $f(x) = x^2 +2\sqrt{2}x – 6$ 的零点是 $\sqrt{2}$ 和 $-3\sqrt{2}$。

验证

我们知道：

零点之和 $= -\frac{x 的系数}{x^2 的系数}$

                       $= –\frac{2\sqrt{2}}{1}$

                       $=-2\sqrt{2}$

$f(x)$ 的零点之和为 $\sqrt{2}+(-3\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$

根的乘积 $= \frac{常数项}{x^2 的系数}$

                            $= \frac{(-6)}{1}$

                            $= -6$

$f(x)$ 的根的乘积为 $\sqrt{2}\times(-3\sqrt{2})=-6$

因此，零点与其系数之间的关系已得到验证。