求解下列二次多项式的零点，并验证零点与其系数之间的关系
$g(x)\ =\ a(x^2\ +\ 1)\ –\ x(a^2\ +\ 1)$

已知


$g(x) = a(x^2+1) – x(a^2+1)$

求解

这里，我们需要求解 g(x) 的零点。

解答

为了求解 g(x) 的零点，我们需要令 $g(x)=0$。

这意味着，

$a(x^2+1) – x(a^2+1)= 0$

$ax^2+a-a^2x-x= 0$

$ax(x-a)-1(x-a)= 0$

$(ax-1)(x -a) = 0$

$ax-1=0$ 且 $x-a=0$

$ax = 1$ 且 $x = a$

$x=\frac{1}{a}$ 且 $x=a$

因此，二次方程 $g(x) = a(x^2+1) – x(a^2+1)$ 的零点是 $\frac{1}{a}$ 和 $a$。

验证

我们知道，
零点之和 $= -\frac{x的系数}{x^2的系数}$

                       $= –(\frac{-(a^2+1)}{a})$

                       $=\frac{a^2+1}{a}$

$g(x)$ 的零点之和为 $a+\frac{1}{a}=\frac{a^2+1}{a}$ 

根的积 $= \frac{常数项}{x^2的系数}$

                            $=\frac{a}{a}$

                            $= 1$

$g(x)$ 的根的积为 $\frac{1}{a}\times a =1$

因此，零点与其系数之间的关系得到验证。

更新时间： 2022年10月10日

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