如果α和β是二次多项式f(x) = x² - 1的根，求一个根为2α/β和2β/α的二次多项式。

已知

α 和 β 是二次多项式 f(x) = x² - 1 的根。

需要做的事情

我们需要找到一个根为 2α/β 和 2β/α 的二次多项式。 

解答

我们知道，

二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0，其中 a、b 和 c 是

常数且 a≠0

将给定方程与二次方程的标准形式进行比较，

a = 1，b = 0 且 c = -1

根的和 = α + β = -b/a = -0/1 = 0。

根的积 = αβ = c/a = -1/1 = -1。

设给定二次方程的根的和与积分别为 S 和 P。

因此，

S = 2α/β + 2β/α

= (2α² + 2β²)/αβ

= 2(α² + β²)/αβ

= 2((α + β)² - 2αβ)/αβ

= 2((0)² - 2(-1))/-1

= 4/-1

$=-4$

P = 2α/β × 2β/α

$=4$

具有根的和 S 和根的积 P 的二次多项式为 f(x) = k(x² - (S)x + P)，其中 k 是任何非零实数。

因此，

f(x) = k(x² - (-4)x + 4)

f(x) = k(x² + 4x + 4)

所需的二次多项式为 f(x) = k(x² + 4x + 4)，其中 k 是任何非零实数。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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