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法律研究如果 $α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$ 的两个根，则求值：
$a\left(\frac{α^2}{β}\ +\ \frac{β^2}{α}\right)\ +\ b\left(\frac{α}{β}\ +\ \frac{β}{α}\right)$
已知
$α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$ 的两个根。
要求
我们需要求 $a\left(\frac{α^2}{β}\ +\ \frac{β^2}{α}\right)\ +\ b\left(\frac{α}{β}\ +\ \frac{β}{α}\right)$ 的值。
解答
给定的二次方程为 $ax^2+bx+c=0$，其中 a、b 和 c 为常数，且 $a≠0$。
根的和 $= α+β = \frac{-b}{a}$。
根的积 $= αβ = \frac{c}{a}$。
我们知道，
$ \begin{array}{l}
a\left(\frac{\alpha ^{2}}{\beta } +\frac{\beta ^{2}}{\alpha }\right) +b\left(\frac{\alpha }{\beta } +\frac{\beta }{\alpha }\right) =a\left(\frac{\alpha ^{3} +\beta ^{3}}{\alpha \beta }\right) +b\left(\frac{\alpha ^{2} +\beta ^{2}}{\alpha \beta }\right)\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a\left( \alpha ^{3} +\beta ^{3}\right) +b\left( \alpha ^{2} +\beta ^{2}\right)}{\alpha \beta }\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a\left(( \alpha +\beta )^{3} -3\alpha \beta ( \alpha +\beta )\right) +b(\left(( \alpha +\beta )^{2} -2\alpha \beta \right)}{\alpha \beta }\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a\left(\left( -\frac{b}{a}\right)^{3} -3\left(\frac{c}{a}\right)\left(\frac{-b}{a}\right)\right) +b\left(\left(\frac{-b}{a}\right)^{2} -2\left(\frac{c}{a}\right)\right)}{\frac{c}{a}}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a\left(\frac{-b^{3}}{a^{3}} +\frac{3bc}{a^{2}}\right) +b\left(\frac{b^{2}}{a^{2}} -\frac{2c}{a}\right)}{\frac{c}{a}}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{a\left(\frac{-b^{3} +3abc}{a^{3}}\right) +b\left(\frac{b^{2} -2ac}{a^{2}}\right)}{\frac{c}{a}}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\frac{-b^{3} +3abc}{a^{2}} +\frac{b^{3} -2abc}{a^{2}}}{\frac{c}{a}}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\frac{-b^{3} +3abc+b^{3} -2abc}{a^{2}}}{\frac{c}{a}}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{abc}{ac}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =b
\end{array}$
$a\left(\frac{α^2}{β}\ +\ \frac{β^2}{α}\right)\ +\ b\left(\frac{α}{β}\ +\ \frac{β}{α}\right)$ 的值为 $b$。
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