如果 $α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$ 的根，则计算
$α^4\ +\ β^4$

已知

$α$ 和 $β$ 是二次多项式  $f(x)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$ 的根。

要求

我们需要求 $α^4\ +\ β^4$ 的值。

解答

给定的二次方程为 $ax^2+bx+c=0$，其中 a，b 和 c 为常数，且 $a≠0$。

根的和 $= α+β = \frac{-b}{a}$。

根的积 $= αβ = \frac{c}{a}$。

我们知道，

$ \begin{array}{l}
\alpha ^{4} +\beta ^{4} =\left( \alpha ^{2}\right)^{2} +\left( \beta ^{2}\right)^{2}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \alpha ^{2} +\beta ^{2}\right)^{2} -2\alpha ^{2} \beta ^{2}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(( \alpha +\beta )^{2} -2\alpha \beta \right)^{2} -2( \alpha \beta )^{2}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\left( -\frac{b}{a}\right)^{2} -2\left(\frac{c}{a}\right)\right)^{2} -2\left(\frac{c}{a}\right)^{2}\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\frac{b^{2}}{a^{2}} -\frac{2c}{a}\right)^{2} -\left(\frac{2c^{2}}{a^{2}}\right)\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\frac{b^{2} -2ac}{a^{2}}\right)^{2} -\left(\frac{2c^{2}}{a^{2}}\right)\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\left( b^{2} -2ac\right)^{2} -2a^{2} c^{2}}{a^{4}}
\end{array}$

$α^4\ +\ β^4$ 的值为 $\frac{(b^2-2ac)^2-2a^2c^2}{a^4}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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