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如果α和β是二次多项式f(x) = ax² + bx + c的两个根,则求值
1/(aα + b) + 1/(aβ + b)


已知

α 和 β 是二次多项式 f(x) = ax² + bx + c 的两个根。


要求

我们需要求 1/(aα + b) + 1/(aβ + b) 的值。


解答

给定的二次方程为 ax² + bx + c = 0,其中 a,b 和 c 是常数,且 a ≠ 0。

根的和 = α + β = -b/a。

根的积 = αβ = c/a。

我们知道,

1/(aα+b)+1/(aβ+b)=(aβ+b+aα+b)/[(aα+b)(aβ+b)]                          =[a(α+β)+2b]/[a²αβ+abα+abβ+b²]                          =[a(α+β)+2b]/[a²αβ+ab(α+β)+b²]                          =[a(b/a)+2b]/[a²(c/a)+ab(b/a)+b²]                          =(b+2b)/(acb²+b²)                          =b/ac


1/(aα + b) + 1/(aβ + b) 的值为 b/ac。

更新时间: 2022年10月10日

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