如果α和β是二次多项式f(x) = ax² + bx + c的两个根，则求值
1/(aα + b) + 1/(aβ + b)

已知

α 和 β 是二次多项式 f(x) = ax² + bx + c 的两个根。

要求

我们需要求 1/(aα + b) + 1/(aβ + b) 的值。

解答

给定的二次方程为 ax² + bx + c = 0，其中 a，b 和 c 是常数，且 a ≠ 0。

根的和 = α + β = -b/a。

根的积 = αβ = c/a。

我们知道，

$ \begin{array}{l}
1/(aα + b) + 1/(aβ + b) = (aβ + b + aα + b) / [(aα + b)(aβ + b)]\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [a(α + β) + 2b] / [a²αβ + abα + abβ + b²]\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [a(α + β) + 2b] / [a²αβ + ab(α + β) + b²]\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = [a(-b/a) + 2b] / [a²(c/a) + ab(-b/a) + b²]\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = (-b + 2b) / (ac - b² + b²)\\
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = b/ac
\end{array}$

1/(aα + b) + 1/(aβ + b) 的值为 b/ac。

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更新时间： 2022年10月10日

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