如果α和β是二次多项式f(x) = ax² + bx + c的两个根,则求值
1/(aα + b) + 1/(aβ + b)
已知
α 和 β 是二次多项式 f(x) = ax² + bx + c 的两个根。
要求
我们需要求 1/(aα + b) + 1/(aβ + b) 的值。
解答
给定的二次方程为 ax² + bx + c = 0,其中 a,b 和 c 是常数,且 a ≠ 0。
根的和 = α + β = -b/a。
根的积 = αβ = c/a。
我们知道,
1/(aα+b)+1/(aβ+b)=(aβ+b+aα+b)/[(aα+b)(aβ+b)] =[a(α+β)+2b]/[a²αβ+abα+abβ+b²] =[a(α+β)+2b]/[a²αβ+ab(α+β)+b²] =[a(−b/a)+2b]/[a²(c/a)+ab(−b/a)+b²] =(−b+2b)/(ac−b²+b²) =b/ac
1/(aα + b) + 1/(aβ + b) 的值为 b/ac。
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