如果 $α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$ 的两个根，则计算
$\frac{1}{α}\ -\ \frac{1}{β}$。

已知

$α$  和  $β$  是二次多项式  $f(x)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +\ c$ 的两个根。

要求

我们需要找到 $\frac{1}{α}\ -\ \frac{1}{β}$ 的值。

解答

给定的二次方程为 $ax^2+bx+c=0$，其中 a，b 和 c 为常数，且 $a≠0$。

根的和 $= α+β = \frac{-b}{a}$。

根的积 $= αβ = \frac{c}{a}$。

我们知道，

$\frac{1}{\alpha } -\frac{1}{\beta } =\frac{\beta -\alpha }{\alpha \beta }$

$=\frac{-( \alpha -\beta )}{\alpha \beta }$

$( \alpha -\beta )^{2} =( \alpha +\beta )^{2} -4\alpha \beta$

$=\left( -\frac{b}{a}\right)^{2} -4\left(\frac{c}{a}\right)$

$=\frac{b^{2}}{a^{2}} -\frac{4c}{a}$

$=\frac{b^{2} -4ac}{a^{2}}$

$( \alpha -\beta ) =\sqrt{\frac{b^{2} -4ac}{a^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{b^{2} -4ac}}{a}$

$\frac{1}{\alpha } -\frac{1}{\beta } =\frac{-( \alpha -\beta )}{\alpha \beta }$

$=-\frac{\frac{\sqrt{b^{2} -4ac}}{a}}{\frac{c}{a}}$

$=-\frac{\sqrt{b^{2} -4ac}}{a} \times \frac{a}{c}$

$=-\frac{\sqrt{b^{2} -4ac}}{c}$

$\frac{1}{α}\ -\ \frac{1}{β}$ 的值为 $-\frac{\sqrt{b^{2} -4ac}}{c}$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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