如果二次多项式 $f(x)\ =\ x^2\ –\ x\ –\ 4$ 的两个零点为 $α$ 和 $β$，求 $\frac{1}{α}\ +\ \frac{1}{β}\ –\ αβ$ 的值。

已知

$α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ x^2\ –\ x\ -\ 4$ 的两个零点。

要求

这里，我们需要求 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}–αβ$ 的值。

解： 

我们知道，

二次方程的标准形式为 $ax^2+bx+c=0$，其中 a、b 和 c 为常数，且 $a≠0$。

将给定方程与二次方程的标准形式进行比较，

$a=1$，$b=-1$ 和 $c=-4$

根的和 $= α+β = \frac{-b}{a} = \frac{– (-1)}{1} = 1$。

根的积 $= αβ = \frac{c}{a} = \frac{-4}{1} = -4$。

因此，

$\frac{1}{α} +\frac{1}{β}–αβ=\frac{(α +β)}{αβ}- αβ$

$=\frac{1}{-4}– (-4) = -\frac{1}{4}+ 4= \frac{-1+4\times4}{4}=\frac{-1+16}{4}=\frac{15}{4}$。

$\frac{1}{α}+\frac{1}{β}–αβ$ 的值为 $\frac{15}{4}$。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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