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法律研究如果 $α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ x^2\ -\ 2x\ +\ 3$ 的零点，求一个多项式，其根为 $α\ +\ 2,\ β\ +\ 2$。
已知
$α$ 和 $β$ 是二次多项式 $f(x)\ =\ x^2\ -\ 2x\ +\ 3$ 的零点。
问题
我们要求取以 $α+2$ 和 $β+2$ 为零点的二次多项式。
解答
我们知道，
二次方程的标准形式为 $ax^2+bx+c=0$，其中 a、b 和 c 是常数且 $a≠0$
将给定方程与二次方程的标准形式进行比较，得到 $a=1$, $b=-2$ 和 $c=3$
根之和 $= α+β = \frac{-b}{a} = \frac{-(-2)}{1}=2$。
根之积 $= αβ = \frac{c}{a} = \frac{3}{1}=3$。
令给定二次方程零点的和和积分别为 $S$ 和 $P$。
因此，
$ \begin{array}{l}
S=( \alpha +2) +( \beta +2)\\
\ \ \ =( \alpha +\beta ) +4\\
\\
P=( \alpha +2) \times ( \beta +2)\\
\\
\ \ \ =2+4\\
\\
\ \ \ =6\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2\alpha +2\beta +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( 3+2( 2) +4)\\
\\
\ \ =( 3+4+4)\\
\\
\ \ =11
\end{array}$
根之和为 $S$，根之积为 $P$ 时二次多项式为 $f(x)=k(x^2-(S)x+P)$，其中 $k$ 为任意非零实数。
$ \begin{array}{l}
$f(x)=k(x^2-(6)x+11)$
$f(x)=k(x^2-6x+11)$
所需的二次多项式为 $f(x)=k(x^2-6x+11)$，其中 $k$ 为任意非零实数。
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