如果 α 和 β 是二次多项式 f(x) = x2 − 2x + 3 的零点,求一个多项式,其根为 α + 2, β + 2。
已知
α 和 β 是二次多项式 f(x) = x2 − 2x + 3 的零点。
问题
我们要求取以 α+2 和 β+2 为零点的二次多项式。
解答
我们知道,
二次方程的标准形式为 ax2+bx+c=0,其中 a、b 和 c 是常数且 a≠0
将给定方程与二次方程的标准形式进行比较,得到 a=1, b=−2 和 c=3
根之和 =α+β=−ba=−(−2)1=2。
根之积 =αβ=ca=31=3。
令给定二次方程零点的和和积分别为 S 和 P。
因此,
$ \begin{array}{l}
S=( \alpha +2) +( \beta +2)\\
\ \ \ =( \alpha +\beta ) +4\\
\\
P=( \alpha +2) \times ( \beta +2)\\
\\
\ \ \ =2+4\\
\\
\ \ \ =6\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2\alpha +2\beta +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( 3+2( 2) +4)\\
\\
\ \ =( 3+4+4)\\
\\
\ \ =11
\end{array}$
根之和为 S,根之积为 P 时二次多项式为 f(x)=k(x2−(S)x+P),其中 k 为任意非零实数。
$ \begin{array}{l}
f(x)=k(x2−(6)x+11)
f(x)=k(x2−6x+11)
所需的二次多项式为 f(x)=k(x2−6x+11),其中 k 为任意非零实数。
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