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如果 αβ 是二次多项式 f(x) = x2  2x + 3 的零点,求一个多项式,其根为 α + 2, β + 2


已知

α  和  β  是二次多项式 f(x) = x2  2x + 3 的零点。


问题

我们要求取以 α+2β+2 为零点的二次多项式。 


解答

我们知道, 

二次方程的标准形式为 ax2+bx+c=0,其中 a、b 和 c 是常数且 a0

将给定方程与二次方程的标准形式进行比较,得到 a=1, b=2c=3

根之和 =α+β=ba=(2)1=2

根之积 =αβ=ca=31=3

令给定二次方程零点的和和积分别为 SP

因此,

$ \begin{array}{l}

S=( \alpha +2) +( \beta +2)\\
\ \ \ =( \alpha +\beta ) +4\\
\\
P=( \alpha +2) \times ( \beta +2)\\
\\
\ \ \ =2+4\\
\\
\ \ \ =6\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2\alpha +2\beta +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( \alpha \beta +2( \alpha +\beta ) +4)\\
\\
\ \ =( 3+2( 2) +4)\\
\\
\ \ =( 3+4+4)\\
\\
\ \ =11
\end{array}$

根之和为 S,根之积为 P 时二次多项式为 f(x)=k(x2(S)x+P),其中 k 为任意非零实数。

$ \begin{array}{l}

f(x)=k(x2(6)x+11)

f(x)=k(x26x+11)


所需的二次多项式为 f(x)=k(x26x+11),其中 k 为任意非零实数。

更新于:2022-10-10

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