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如果多项式 $f(x)\ =\ 2x^3\ –\ 15x^2\ +\ 37x\ –\ 30$ 的零点成等差数列，求这些零点。

学术数学 NCERT 10 年级

已知

多项式 $f(x)\ =\ 2x^3\ –\ 15x^2\ +\ 37x\ –\ 30$ 的零点成等差数列。

要求

这里，我们需要找到给定多项式的零点。

解答

设给定多项式的零点为 α、β 和 γ。

已知零点成等差数列。

因此，我们将根设为：

$α = p – d$ ，

$β = p$ 和

$γ = p +d$

其中，

$p$ 是首项，

$d$ 是公差。

将

$f(x)$ 与三次多项式的标准形式进行比较：

$a= 2$ ，

$b= -15$ ，

$c= 37$ 和

$d=-30$

因此：

根的和

$= α + β + γ = (p– d) + p + (p + d) = 3p = \frac{-b}{a} =\frac{-(-15)}{2} = \frac{15}{2}$

$3p= \frac{15}{2}$

$p= \frac{5}{2}$

根的积

$= (p – d) \times (p) \times (p + d) = p(p^2 –d^2) = \frac{-d}{a} = \frac{-(-30)}{2} = 15$

$p(p^2 –d^2) = 15$

代入 p 的值，得到

$\frac{5}{2}[(\frac{5}{2})^2 –d^2] = 15$

$\frac{25}{4}– d^2 = 3\times2$

$25 – 4d^2 = 6\times4$

$4d^2=25-24$

$d^2=\frac{1}{4}$

$d = \frac{1}{2} 或 \frac{-1}{2}$

取

$d = \frac{1}{2}$ 和

$p = \frac{5}{2}$

零点为

$\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$ ，

$\frac{5}{2}$ 和

$\frac{5}{2}+\frac{1}{2}=3$ 。

取

$d = \frac{-1}{2}$ 和

$a = \frac{5}{2}$

零点为

$3$ ，

$\frac{5}{2}$ 和

$2$ 。

教程点

更新于：2022年10月10日

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